No caso de convergência, calcule o valor da soma da série. sumn=1^infty[13^n-2-12^n+2]

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para calcular a soma de uma série infinita, ou seja, determinar se ela converge e, nesse caso, encontrar o valor da soma. A série que temos é:
sumn=1^infty[13^n-2-12^n+2]
Para resolver isso, vamos precisar entender sobre séries geométricas e como somar termos de progressões geométricas.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar os termos da série:
13^n-2 = 3^2-n = 9 cdot (13)^n
12^n+2 = 14 cdot (12)^n
Agora, nossa série fica:
sumn=1^infty [9 cdot (13)^n - 14 cdot (12)^n]

Passo 3

Podemos separar a série em duas partes:
9 sumn=1^infty (13)^n - 14 sumn=1^infty (12)^n
Sabemos que a soma de uma série geométrica infinita sumn=1^infty r^n é igual a r1 - r, desde que |r| < 1.

Passo 4

Aplicando a fórmula para cada parte:
Para a primeira parte:
9 cdot 131 - 13 = 9 cdot 1323 = 9 cdot 12 = 92
Para a segunda parte:
14 cdot 121 - 12 = 14 cdot 1212 = 14 cdot 1 = 14

Passo 5

Agora, subtraímos as duas somas:
92 - 14 = 184 - 14 = 174

Resposta

A soma da série é 174.

Exercícios relacionados