No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma da série infinita . Primeiro, vamos identificar o tipo de série que temos aqui. Vemos que a série é do tipo , que é conhecida como série p, onde . Sabemos que séries p com convergem, então já sabemos que essa série converge. Agora, vamos descobrir o valor da soma!

Passo 2

Para encontrar a soma da série, vamos simplificar a expressão. Observa que:
Então, a série fica:

Passo 3

Vamos fatorar o denominador :
Agora, podemos usar frações parciais para simplificar a expressão:
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Para encontrar e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 4

Escolha :
Agora, escolha :

Passo 5

Substituindo e na expressão das frações parciais:
Então, a série original fica:

Passo 6

Vamos reescrever a série separando os termos:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 7

Escrevendo os primeiros termos da série:
Observamos que , , etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo.

Passo 8

Portanto, a soma da série é:

Resposta

A soma da série é .

Exercícios relacionados

Pelo limite do termo geral, justifique que as séries abaixo são divergentes:
No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.