No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma da série infinita
. Primeiro, vamos identificar o tipo de série que temos aqui. Vemos que a série é do tipo
, que é conhecida como série p, onde
. Sabemos que séries p com
convergem, então já sabemos que essa série converge. Agora, vamos descobrir o valor da soma!
Passo 2
Para encontrar a soma da série, vamos simplificar a expressão. Observa que:
Então, a série fica:
Passo 3
Vamos fatorar o denominador
:
Agora, podemos usar frações parciais para simplificar a expressão:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Para encontrar
e
, podemos escolher valores de
que simplifiquem a equação.
Passo 4
Escolha
:
Agora, escolha
:
Passo 5
Substituindo
e
na expressão das frações parciais:
Então, a série original fica:
Passo 6
Vamos reescrever a série separando os termos:
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.
Passo 7
Escrevendo os primeiros termos da série:
Observamos que
,
, etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo.
Passo 8
Portanto, a soma da série é:
Resposta
A soma da série é
.
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Pelo limite do termo geral, justifique que as séries abaixo são divergentes:
No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.