No caso de convergência, calcule o valor da soma da série. sumn=1^infty 28 n^2-2

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a soma da série infinita . Primeiro, vamos identificar o tipo de série que temos aqui. Vemos que a série é do tipo , que é conhecida como série p, onde . Sabemos que séries p com convergem, então já sabemos que essa série converge. Agora, vamos descobrir o valor da soma!

Passo 2

Para encontrar a soma da série, vamos simplificar a expressão. Observa que:
28n^2-2 = 22(4n^2-1) = 14n^2-1
Então, a série fica:
sumn=1^infty 14n^2-1

Passo 3

Vamos fatorar o denominador 4n^2-1 = (2n-1)(2n+1) :
1(2n-1)(2n+1) = A2n-1 + B2n+1
Agora, podemos usar frações parciais para simplificar a expressão:
1 = A(2n+1) + B(2n-1)
Multiplicando ambos os lados por , temos:
Para encontrar e , podemos escolher valores de que simplifiquem a equação.

Passo 4

Escolha 1 = A(2 cdot 12 + 1) + B(2 cdot 12 - 1) 1 = A(2) + B(0) A = 12 :
1 = A(2 cdot -12 + 1) + B(2 cdot -12 - 1) 1 = A(0) + B(-2) B = -12
Agora, escolha :

Passo 5

Substituindo 14n^2-1 = 1/22n-1 - 1/22n+1 e sumn=1^infty ( 1/22n-1 - 1/22n+1 ) na expressão das frações parciais:
Então, a série original fica:

Passo 6

Vamos reescrever a série separando os termos:
12 sumn=1^infty ( 12n-1 - 12n+1 )
Isso é uma série telescópica, onde muitos termos se cancelam.

Passo 7

Escrevendo os primeiros termos da série:
12 ( ( 11 - 13 ) + ( 13 - 15 ) + ( 15 - 17 ) + dots )
Observamos que , , etc., se cancelam, restando apenas o primeiro termo.

Passo 8

Portanto, a soma da série é:
12 cdot 1 = 12

Resposta

A soma da série é .

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