Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite. sumn=1^infty 1n^4+n^3+1

Passo 1

Beleza! Recebemos a série sumn=1^infty 1n^4+n^3+1. Nosso objetivo aqui é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o método da comparação. Vamos precisar entender um pouquinho de séries p e como comparar termos para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série p. É uma série da forma sumn=1^infty 1n^p, onde p é um número real. Sabemos que se p > 1, a série converge, e se p \leq 1, ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série: 1n^4+n^3+1. Observamos que, para valores grandes de n, o termo dominante no denominador é n⁴, porque ele cresce mais rápido que ou 1.

Passo 4

Com isso em mente, podemos comparar nossa série com a série p de p = 4: sumn=1^infty 1n^4. Como já sabemos que essa série converge (já que 4 > 1), podemos usar o método da comparação.

Passo 5

Vamos comparar os termos das duas séries:
1n^4+n^3+1 <= 1n^4
Isso acontece porque n⁴ + n³ + 1 > n⁴, então o inverso é menor.

Passo 6

Como sumn=1^infty 1n^4 converge e nossos termos 1n^4+n^3+1 são menores ou iguais a 1n^4, pela comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty 1n^4+n^3+1 converge.

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