Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Passo 1
Beleza! Recebemos a série
. Nosso objetivo aqui é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o método da comparação. Vamos precisar entender um pouquinho de séries p e como comparar termos para chegar à resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma série p. É uma série da forma
, onde p é um número real. Sabemos que se p > 1, a série converge, e se p \leq 1, ela diverge.
Passo 3
Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série:
. Observamos que, para valores grandes de n, o termo dominante no denominador é n⁴, porque ele cresce mais rápido que n³ ou 1.
Passo 4
Com isso em mente, podemos comparar nossa série com a série p de p = 4:
. Como já sabemos que essa série converge (já que 4 > 1), podemos usar o método da comparação.
Passo 5
Vamos comparar os termos das duas séries:
Isso acontece porque n⁴ + n³ + 1 > n⁴, então o inverso é menor.
Passo 6
Como
converge e nossos termos
são menores ou iguais a
, pela comparação, nossa série original também converge.
Resposta
A série
converge.
Exercícios relacionados
No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
Pelo limite do termo geral, justifique que as séries abaixo são divergentes:
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Mostre a convergência das seguintes séries alternadas.