Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.

Passo 1

Beleza! Recebemos a série . Nosso objetivo aqui é verificar se essa série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o método da comparação. Vamos precisar entender um pouquinho de séries p e como comparar termos para chegar à resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma série p. É uma série da forma , onde p é um número real. Sabemos que se p > 1, a série converge, e se p \leq 1, ela diverge.

Passo 3

Agora, vamos analisar o termo geral da nossa série: . Observamos que, para valores grandes de n, o termo dominante no denominador é n⁴, porque ele cresce mais rápido que ou 1.

Passo 4

Com isso em mente, podemos comparar nossa série com a série p de p = 4: . Como já sabemos que essa série converge (já que 4 > 1), podemos usar o método da comparação.

Passo 5

Vamos comparar os termos das duas séries:
Isso acontece porque n⁴ + n³ + 1 > n⁴, então o inverso é menor.

Passo 6

Como converge e nossos termos são menores ou iguais a , pela comparação, nossa série original também converge.

Resposta

A série converge.

Exercícios relacionados

No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
Pelo limite do termo geral, justifique que as séries abaixo são divergentes:
Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Mostre a convergência das seguintes séries alternadas.