No caso de convergência, calcule o valor da soma da série. sumn=1^infty(raiz3)^-n

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a soma da série infinita . Isso envolve Séries Geométricas, que é um tópico de matemática onde somamos infinitos termos que têm uma razão comum entre eles. Para resolver isso, precisamos saber a fórmula da soma de uma série geométrica infinita e verificar se a série converge.

Passo 2

Antes de calcular a soma, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica da forma , ela converge se o valor absoluto da razão for menor que 1, ou seja, . No nosso caso, a razão é . Como , a série converge e podemos prosseguir para calcular a soma.

Passo 3

Agora, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
S = a1 - r
onde:
  • S = 1raiz31 - 1raiz3 = 1raiz3 - 1 é a soma da série,
  • S = 1 cdot (raiz3 + 1)(raiz3 - 1)(raiz3 + 1) = raiz3 + 13 - 1 = raiz3 + 12 é o primeiro termo,
  • é a razão comum.
No nosso caso, o primeiro termo , e . Substituindo esses valores na fórmula:
Para simplificar, vamos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por :

Resposta

A soma da série é .

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