No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que está sendo pedido. Temos que calcular a soma da série infinita
. Isso envolve Séries Geométricas, que é um tópico de matemática onde somamos infinitos termos que têm uma razão comum entre eles. Para resolver isso, precisamos saber a fórmula da soma de uma série geométrica infinita e verificar se a série converge.
Passo 2
Antes de calcular a soma, precisamos verificar se a série converge. Para uma série geométrica da forma
, ela converge se o valor absoluto da razão
for menor que 1, ou seja,
. No nosso caso, a razão é
. Como
, a série converge e podemos prosseguir para calcular a soma.
Passo 3
Agora, vamos usar a fórmula da soma de uma série geométrica infinita:
onde:
-
é a soma da série, -
é o primeiro termo, -
é a razão comum.
No nosso caso, o primeiro termo
, e
. Substituindo esses valores na fórmula:
Para simplificar, vamos racionalizar o denominador multiplicando o numerador e o denominador por
:
Resposta
A soma da série é
.
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Pelo limite do termo geral, justifique que as séries abaixo são divergentes:
No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.