Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a série converge ou diverge. Para isso, vamos usar o método da comparação ou o método da comparação no limite. Precisamos comparar essa série com outra que a gente já conhece a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série: . Podemos separar os termos:
Agora, temos dois termos: e . A série é uma série geométrica com razão , que sabemos que converge porque .

Passo 3

Vamos usar o teste da comparação no limite. Vamos comparar nossa série original com a série geométrica .
Calculamos o limite:
Esse limite é um número finito e positivo ( ), então pelo teste da comparação no limite, as duas séries têm o mesmo comportamento: se a série de comparação converge, a nossa série também converge.

Passo 4

Como a série geométrica converge e o limite da nossa comparação é , concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série converge pelo método da comparação no limite.

Exercícios relacionados

Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
Mostre a convergência das seguintes séries alternadas.
Verifique que o -ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série: