Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.
Passo 1
Beleza, vamos verificar se a série
converge ou diverge. Para isso, vamos usar o método da comparação ou o método da comparação no limite. Precisamos comparar essa série com outra que a gente já conhece a convergência.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a expressão da série:
. Podemos separar os termos:
Agora, temos dois termos:
e
. A série
é uma série geométrica com razão
, que sabemos que converge porque
.
Passo 3
Vamos usar o teste da comparação no limite. Vamos comparar nossa série original com a série geométrica
.
Calculamos o limite:
Esse limite é um número finito e positivo (
), então pelo teste da comparação no limite, as duas séries têm o mesmo comportamento: se a série de comparação converge, a nossa série também converge.
Passo 4
Como a série geométrica
converge e o limite da nossa comparação é
, concluímos que a série original também converge.
Resposta
A série
converge pelo método da comparação no limite.
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No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
Mostre a convergência das seguintes séries alternadas.
Verifique que o
-ésimo termo de cada série abaixo satisfaz as hipóteses do Teste da Integral e, em seguida, conclua sobre a convergência da série: