Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite. sumn=1^infty n+7n 3^n

Passo 1

Beleza, vamos verificar se a série sumn=1^infty n+7n 3^n converge ou diverge. Para isso, vamos usar o método da comparação ou o método da comparação no limite. Precisamos comparar essa série com outra que a gente já conhece a convergência.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a expressão da série: n+7n 3^n. Podemos separar os termos:
n+7n 3^n = nn 3^n + 7n 3^n = 13^n + 7n 3^n
Agora, temos dois termos: 13^n e 7n 3^n. A série sumn=1^infty 13^n é uma série geométrica com razão r = 13, que sabemos que converge porque |r| < 1.

Passo 3

Vamos usar o teste da comparação no limite. Vamos comparar nossa série original com a série geométrica sum 13^n.
Calculamos o limite:
limn to infty n+7n 3^n13^n = limn to infty n+7n = limn to infty (1 + 7n) = 1
Esse limite é um número finito e positivo ( 1), então pelo teste da comparação no limite, as duas séries têm o mesmo comportamento: se a série de comparação converge, a nossa série também converge.

Passo 4

Como a série geométrica sum 13^n converge e o limite da nossa comparação é 1, concluímos que a série original também converge.

Resposta

A série sumn=1^infty n+7n 3^n converge pelo método da comparação no limite.

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