Pelo limite do termo geral, justifique que as séries abaixo são divergentes:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a série
diverge. Isso envolve o conteúdo de séries infinitas e vamos usar o Teste do Termo Geral para resolver. Basicamente, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série quando
fica bem grande.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste do Termo Geral. Esse teste diz que se o limite do termo geral
não for zero, então a série
não converge.
Passo 3
Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, o termo geral é
.
Passo 4
Vamos calcular o limite desse termo geral quando
tende ao infinito:
Passo 5
Para facilitar, podemos fatorar
de cada termo:
Passo 6
Agora, avaliamos o limite dentro do parêntese. Quando
tende ao infinito,
tende a zero, então:
Passo 7
Substituindo de volta, temos:
Passo 8
Sabemos que
cresce sem limite quando
aumenta, ou seja,
.
Passo 9
Então:
Resposta
Como o limite do termo geral é infinito e não zero, pelo Teste do Termo Geral, a série
é divergente.
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No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
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Verificar a convergência ou a divergência das séries abaixo usando o método da comparação ou o método da comparação no limite.