Pelo limite do termo geral, justifique que as séries abaixo são divergentes: sumn=1^infty(raizn+raizn+2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a série diverge. Isso envolve o conteúdo de séries infinitas e vamos usar o Teste do Termo Geral para resolver. Basicamente, vamos precisar analisar o comportamento dos termos da série quando fica bem grande.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o Teste do Termo Geral. Esse teste diz que se o limite do termo geral não for zero, então a série não converge.

Passo 3

Agora, vamos identificar o termo geral da nossa série. Aqui, o termo geral é .

Passo 4

Vamos calcular o limite desse termo geral quando limn to infty (raizn + raizn+2) tende ao infinito:

Passo 5

Para facilitar, podemos fatorar limn to infty raizn (1 + raiz1 + 2n) de cada termo:

Passo 6

Agora, avaliamos o limite dentro do parêntese. Quando raiz1 + 2n to raiz1 + 0 = 1 tende ao infinito, tende a zero, então:

Passo 7

Substituindo de volta, temos:
limn to infty raizn (1 + 1) = limn to infty 2raizn

Passo 8

Sabemos que cresce sem limite quando aumenta, ou seja, .

Passo 9

Então:
limn to infty (raizn + raizn+2) = infty neq 0

Resposta

Como o limite do termo geral é infinito e não zero, pelo Teste do Termo Geral, a série é divergente.

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