No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma série infinita dada por
O objetivo é verificar se essa série converge e, se sim, calcular o valor da sua soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente a técnica de frações parciais.
Passo 2
Antes de mais nada, precisamos simplificar o termo geral da série
. Para isso, vamos fatorar o denominador.
Vamos resolver a equação quadrática
:
Assim, as raízes são
e
.
Portanto, o denominador pode ser fatorado como
Passo 3
Agora, vamos decompor a fração
em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes
e
tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum
, temos:
Para encontrar
e
, podemos substituir valores de
que simplificam a equação:
- Se
:
- Se
:
Portanto, a decomposição fica:
Passo 4
Com a decomposição em frações parciais, a série original se transforma em:
Essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam ao somarmos os termos consecutivos. Vamos analisar os primeiros termos:
Observando o padrão, percebemos que, ao somar infinitos termos, apenas os primeiros termos não serão cancelados. Calculando o limite, obtemos:
Resposta
A soma da série converge para
.
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Pelo limite do termo geral, justifique que as séries abaixo são divergentes: