No caso de convergência, calcule o valor da soma da série.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma série infinita dada por
O objetivo é verificar se essa série converge e, se sim, calcular o valor da sua soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente a técnica de frações parciais.

Passo 2

Antes de mais nada, precisamos simplificar o termo geral da série . Para isso, vamos fatorar o denominador.
Vamos resolver a equação quadrática :
Assim, as raízes são e .
Portanto, o denominador pode ser fatorado como

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes e tais que:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum , temos:
Para encontrar e , podemos substituir valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Portanto, a decomposição fica:

Passo 4

Com a decomposição em frações parciais, a série original se transforma em:
Essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam ao somarmos os termos consecutivos. Vamos analisar os primeiros termos:
Observando o padrão, percebemos que, ao somar infinitos termos, apenas os primeiros termos não serão cancelados. Calculando o limite, obtemos:

Resposta

A soma da série converge para .

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Pelo limite do termo geral, justifique que as séries abaixo são divergentes: