No caso de convergência, calcule o valor da soma da série. sumn=1^infty 59 n^2+3 n-2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício pede. Temos uma série infinita dada por
sumn=1^infty 59n^2 + 3n - 2
O objetivo é verificar se essa série converge e, se sim, calcular o valor da sua soma. Para resolver isso, vamos usar conceitos de séries infinitas, especialmente a técnica de frações parciais.

Passo 2

Antes de mais nada, precisamos simplificar o termo geral da série De. Para isso, vamos fatorar o denominador.
Vamos resolver a equação quadrática n = -b pm raizDe:
9n^2 + 3n - 2 = 9(n - 13)(n + 23)
Assim, as raízes são e .
Portanto, o denominador pode ser fatorado como

Passo 3

Agora, vamos decompor a fração 59n^2 + 3n - 2 = An - 13 + Bn + 23 em frações parciais. Ou seja, queremos encontrar constantes 5 = A(n + 23) + B(n - 13) e 5 = A(13 + 23) + B(13 - 13) Rightarrow 5 = A(1) + B(0) Rightarrow A = 5 tais que:
5 = A(-23 + 23) + B(-23 - 13) Rightarrow 5 = A(0) + B(-1) Rightarrow B = -5
Multiplicando ambos os lados pelo denominador comum 59n^2 + 3n - 2 = 5n - 13 - 5n + 23 , temos:
Para encontrar e , podemos substituir valores de que simplificam a equação:
  • Se :
  • Se :
Portanto, a decomposição fica:

Passo 4

Com a decomposição em frações parciais, a série original se transforma em:
sumn=1^infty (5n - 13 - 5n + 23)
Essa série é telescópica, ou seja, muitos termos se cancelam ao somarmos os termos consecutivos. Vamos analisar os primeiros termos:
(51 - 13 - 51 + 23) + (52 - 13 - 52 + 23) + cdots
Observando o padrão, percebemos que, ao somar infinitos termos, apenas os primeiros termos não serão cancelados. Calculando o limite, obtemos:
Soma = limN to infty ( 523 - 5N + 23 ) = 5 cdot 32 = 152

Resposta

A soma da série converge para .

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