Um modelo ecológico para o crescimento de certo pássaro é dado pela equação diferencial:
d Nd t-0.89 cdot N+0.003 cdot N^1.9=0
t é medido em meses. Inicialmente tem-se 100 pássaros.
Execute dois passos da seguinte forma:
PASSO 2: RK DE ORDEM 2 para obter N(1.53).
(FÓRMULAS EM ANEXO).

RK DE ORDEM 2:

& yi+1=yi+(13 cdot K1+23 cdot K2) cdot h & K1=f(xi ; yi) & K2=f(xi+34 cdot h ; yi+34 cdot h cdot K1)

Passo 1

Então, a gente tem um problema de crescimento de pássaros modelado por essa equação diferencial:
dNdt - 0.89 cdot N + 0.003 cdot N^1.9 = 0
Aqui, N é o número de pássaros e t é o tempo em meses. A gente sabe que no começo, ou seja, quando t = 0, tem 100 pássaros. O que precisamos fazer é usar o Método de Runge-Kutta de Ordem 2 (RK2) para calcular quantos pássaros teremos no tempo t = 1.53 meses. Para isso, vamos seguir os passos do RK2 e aplicar as fórmulas que você mandou.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar expressa a derivada de N em função de N:
dNdt = 0.89 cdot N - 0.003 cdot N^1.9
Aqui, a gente define uma função f(t, N) = 0.89 cdot N - 0.003 cdot N^1.9. Essa função vai nos ajudar a calcular os incrementos usando o RK2.
Vamos escolher um passo de tempo h = 1.53 meses para simplificar, já que queremos chegar diretamente em t = 1.53. Agora, aplicamos as fórmulas do RK2:
  1. Calcular K1:
K1 = f(ti, Ni) = 0.89 cdot 100 - 0.003 cdot (100)^1.9
Vamos calcular isso:
K1 = 89 - 0.003 cdot 100^1.9
Primeiro, calculemos 100^1.9:
100^1.9 = e^1.9 cdot ln(100) approx e^1.9 cdot 4.6052 approx e^8.7499 approx 6.34 times 10^3
Então:
K1 = 89 - 0.003 cdot 6340 approx 89 - 19.02 = 69.98
  1. Calcular K2:
K2 = f(ti + 34h, Ni + 34h cdot K1)
Substituindo:
K2 = f(0 + 34 cdot 1.53, 100 + 34 cdot 1.53 cdot 69.98)
Calculando os valores:
t = 0 + 1.1475 = 1.1475 meses
N = 100 + 1.1475 cdot 69.98 approx 100 + 80.35 = 180.35
Agora, calculamos f(1.1475, 180.35):
f(1.1475, 180.35) = 0.89 cdot 180.35 - 0.003 cdot (180.35)^1.9
Primeiro, calculemos 180.35^1.9:
180.35^1.9 approx e^1.9 cdot ln(180.35) approx e^1.9 cdot 5.198 approx e^9.8762 approx 1.96 times 10^4
Então:
K2 = 0.89 cdot 180.35 - 0.003 cdot 19600 approx 160.12 - 58.8 = 101.32
  1. Atualizar N usando a fórmula do RK2:
Ni+1 = Ni + (13 cdot K1 + 23 cdot K2) cdot h
Substituindo os valores:
N1.53 = 100 + (13 cdot 69.98 + 23 cdot 101.32) cdot 1.53
Calculando dentro dos parênteses:
13 cdot 69.98 approx 23.33
23 cdot 101.32 approx 67.55
Então:
N1.53 = 100 + (23.33 + 67.55) cdot 1.53 approx 100 + 90.88 = 190.88

Resposta

O número de pássaros após 1.53 meses é aproximadamente 191 pássaros.

Exercícios relacionados