Um modelo ecológico para o crescimento de certo pássaro é dado pela equação diferencial:
é medido em meses. Inicialmente tem-se 100 pássaros.
Execute dois passos da seguinte forma:
PASSO 2: RK DE ORDEM 2 para obter
.
(FÓRMULAS EM ANEXO).
RK DE ORDEM 2:
Execute dois passos da seguinte forma:
PASSO 2: RK DE ORDEM 2 para obter
(FÓRMULAS EM ANEXO).
Passo 1
Então, a gente tem um problema de crescimento de pássaros modelado por essa equação diferencial:
Aqui,
é o número de pássaros e
é o tempo em meses. A gente sabe que no começo, ou seja, quando
, tem 100 pássaros. O que precisamos fazer é usar o Método de Runge-Kutta de Ordem 2 (RK2) para calcular quantos pássaros teremos no tempo
meses. Para isso, vamos seguir os passos do RK2 e aplicar as fórmulas que você mandou.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação diferencial para deixar expressa a derivada de
em função de
:
Aqui, a gente define uma função
. Essa função vai nos ajudar a calcular os incrementos usando o RK2.
Vamos escolher um passo de tempo
meses para simplificar, já que queremos chegar diretamente em
. Agora, aplicamos as fórmulas do RK2:
- Calcular
:
Vamos calcular isso:
Primeiro, calculemos
:
Então:
- Calcular
:
Substituindo:
Calculando os valores:
Agora, calculamos
:
Primeiro, calculemos
:
Então:
- Atualizar
usando a fórmula do RK2:
Substituindo os valores:
Calculando dentro dos parênteses:
Então:
Resposta
O número de pássaros após 1.53 meses é aproximadamente 191 pássaros.