Por causa de sua conexão com retas secantes, retas tangentes e taxa de variação, os limites da forma
ocorrem frequentemente no cálculo. Determine esses limites se:

Passo 1

Então, a gente vai resolver um limite que aparece bastante no cálculo, especialmente quando falamos sobre retas secantes, tangentes e taxa de variação. A expressão que a gente vai trabalhar é:
Aqui, a função que estamos analisando é , e queremos calcular esse limite quando . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição de derivada, que mede a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função na expressão do limite:
Aqui, substituímos por porque e .

Passo 3

Agora, vamos expandir o termo :
Então, substituindo de volta na expressão do limite:

Passo 4

Simplificamos os termos no numerador:
Então, a expressão do limite fica:

Passo 5

Agora, podemos fatorar no numerador:
Os se cancelam:

Passo 6

Agora, aplicamos o limite quando tende a 0:

Resposta

O limite é igual a .

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Determine o valor de para que:
Determine o valor de para que:
Seja a função tal que
Qual o valor de e de para ser contínua em e ?
Sendo , calcule e