Por causa de sua conexão com retas secantes, retas tangentes e taxa de variação, os limites da forma
ocorrem frequentemente no cálculo. Determine esses limites se:
Passo 1
Então, a gente vai resolver um limite que aparece bastante no cálculo, especialmente quando falamos sobre retas secantes, tangentes e taxa de variação. A expressão que a gente vai trabalhar é:
Aqui, a função que estamos analisando é
, e queremos calcular esse limite quando
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição de derivada, que mede a taxa de variação de uma função em um ponto específico.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a função
na expressão do limite:
Aqui, substituímos
por
porque
e
.
Passo 3
Agora, vamos expandir o termo
:
Então, substituindo de volta na expressão do limite:
Passo 4
Simplificamos os termos no numerador:
Então, a expressão do limite fica:
Passo 5
Agora, podemos fatorar
no numerador:
Os
se cancelam:
Passo 6
Agora, aplicamos o limite quando
tende a 0:
Resposta
O limite é igual a
.