Por causa de sua conexão com retas secantes, retas tangentes e taxa de variação, os limites da forma
lim h 0 f(x+h)-f(x)h
ocorrem frequentemente no cálculo. Determine esses limites se: f(x)=x^2 ; x=1(R=2)

Passo 1

Então, a gente vai resolver um limite que aparece bastante no cálculo, especialmente quando falamos sobre retas secantes, tangentes e taxa de variação. A expressão que a gente vai trabalhar é:
lim h 0 f(x+h)-f(x)h
Aqui, a função que estamos analisando é f(x) = x^2, e queremos calcular esse limite quando x = 1. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a definição de derivada, que mede a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função f(x) na expressão do limite:
lim h 0 (1 + h)^2 - (1)^2h
Aqui, substituímos f(x+h) por (1 + h)^2 porque f(x) = x^2 e x = 1.

Passo 3

Agora, vamos expandir o termo (1 + h)^2:
(1 + h)^2 = 1 + 2h + h^2
Então, substituindo de volta na expressão do limite:
lim h 0 1 + 2h + h^2 - 1h

Passo 4

Simplificamos os termos no numerador:
1 + 2h + h^2 - 1 = 2h + h^2
Então, a expressão do limite fica:
lim h 0 2h + h^2h

Passo 5

Agora, podemos fatorar h no numerador:
2h + h^2h = h(2 + h)h
Os h se cancelam:
2 + h

Passo 6

Agora, aplicamos o limite quando h tende a 0:
lim h 0 (2 + h) = 2 + 0 = 2

Resposta

O limite é igual a 2.

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