Determine o valor de k para que: lim x 5(3 k x^2-5 k x+3 k+1)=3 / 2

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Precisamos encontrar o valor de tal que o limite da função quando se aproxima de 5 seja igual a . Vamos usar conceitos de limites e funções polinomiais para resolver isso.

Passo 2

Como estamos lidando com um polinômio, sabemos que funções polinomiais são contínuas em todos os pontos. Isso significa que o limite da função quando se aproxima de um valor pode ser encontrado simplesmente substituindo esse valor na função. Portanto, calculamos .

Passo 3

Vamos substituir f(5) = 3k (5)^2 - 5k (5) + 3k + 1 na função:
f(5) = 3k times 25 - 5k times 5 + 3k + 1 = 75k - 25k + 3k + 1
Calculando os termos:

Passo 4

Somando os termos com 75k - 25k + 3k = 53k :
53k + 1 = 32
Então, a expressão fica:

Passo 5

Agora, resolvemos para 53k + 1 = 32 53k = 32 - 1 53k = 12 k = 12 times 53 k = 1106 :

Resposta

O valor de que satisfaz a condição dada é .

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