Sendo , calcule e

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um limite:
Precisamos encontrar os valores de e que tornam esse limite igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece no numerador e no denominador quando se aproxima de 1.
Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
Como o denominador fica zero, para que o limite exista e seja finito, o numerador também precisa ser zero nesse ponto. Então, temos:

Passo 3

Agora, sabemos que quando , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, formando uma indeterminação do tipo . Nesses casos, podemos aplicar a regra de L’Hospital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a :
  • Derivada do numerador:
  • Derivada do denominador:

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hospital, o limite fica:
Sabemos que esse limite é igual a , então:

Passo 6

Agora, vamos resolver para :
Multiplicando ambos os lados por :
E lembrando que , temos:

Resposta

e

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