Sendo
, calcule
e
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um limite:
Precisamos encontrar os valores de
e
que tornam esse limite igual a
. Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como
.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar o que acontece no numerador e no denominador quando
se aproxima de 1.
Substituindo
:
- Numerador:
- Denominador:
Como o denominador fica zero, para que o limite exista e seja finito, o numerador também precisa ser zero nesse ponto. Então, temos:
Passo 3
Agora, sabemos que quando
, tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, formando uma indeterminação do tipo
. Nesses casos, podemos aplicar a regra de L’Hospital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente.
Passo 4
Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a
:
- Derivada do numerador:
- Derivada do denominador:
Passo 5
Aplicando a regra de L’Hospital, o limite fica:
Sabemos que esse limite é igual a
, então:
Passo 6
Agora, vamos resolver para
:
Multiplicando ambos os lados por
:
E lembrando que
, temos: