Sendo lim x 1 a raizx+1-bx-1=raiz2, calcule a e b (R: a=4 ; b=4 raiz2)

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um limite:
limx 1 a raizx+1 - bx - 1 = raiz2
Precisamos encontrar os valores de e que tornam esse limite igual a . Para resolver isso, vamos usar conceitos de limites e regra de L’Hospital, que ajuda quando temos formas indeterminadas como .

Passo 2

Primeiro, vamos verificar o que acontece no numerador e no denominador quando a raiz2 - b = 0 Rightarrow b = a raiz2 se aproxima de 1.
Substituindo :
  • Numerador:
  • Denominador:
Como o denominador fica zero, para que o limite exista e seja finito, o numerador também precisa ser zero nesse ponto. Então, temos:

Passo 3

Agora, sabemos que quando , tanto o numerador quanto o denominador tendem a zero, formando uma indeterminação do tipo . Nesses casos, podemos aplicar a regra de L’Hospital, que nos diz para derivar o numerador e o denominador separadamente.

Passo 4

Vamos derivar o numerador e o denominador em relação a ddx(a raizx + 1 - b) = a cdot 12(x + 1)^-1/2 :
  • Derivada do numerador:
ddx(x - 1) = 1
  • Derivada do denominador:

Passo 5

Aplicando a regra de L’Hospital, o limite fica:
limx 1 a raizx+1 - bx - 1 = limx 1 a cdot 12(x + 1)^-1/21 = a2 raiz2
Sabemos que esse limite é igual a a2 raiz2 = raiz2 , então:

Passo 6

Agora, vamos resolver para a = 2 raiz2 cdot raiz2 = 2 cdot 2 = 4 :
Multiplicando ambos os lados por b = 4 raiz2 :
E lembrando que , temos:

Resposta

e

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