Seja a função f: R R tal que
f(x)= x^4-1x^2-1, & se x neq-1 e x neq 1 a, & se x=-1 b, & se x=1
Qual o valor de a e de b para f(x) ser contínua em x=1 e x=-1 ?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para alguns valores de . A pergunta quer saber quais valores e precisam ter para que a função seja contínua em e . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando limx to c f(x) = f(c) se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Matematicamente, para a função ser contínua em , precisamos que:
Nesse caso, queremos que a função seja contínua em e .

Passo 3

Vamos calcular o limite de f(x) = x^4 - 1x^2 - 1 quando se aproxima de 1. Para e , a função é dada por:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador e o denominador.

Passo 4

Fatorando x^4 - 1 = (x^2)^2 - 1^2 = (x^2 - 1)(x^2 + 1) , usamos a identidade f(x) = (x^2 - 1)(x^2 + 1)x^2 - 1 :
Então, a expressão original fica:

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo f(x) = x^2 + 1 para x neq 1, -1 no numerador e no denominador (lembrando que e ):

Passo 6

Com a função simplificada, podemos calcular o limite quando limx to 1 f(x) = limx to 1 (x^2 + 1) = (1)^2 + 1 = 2 se aproxima de 1:
limx to 1 f(x) = f(1) Rightarrow 2 = b
Segundo o critério de continuidade:
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando limx to -1 f(x) = limx to -1 (x^2 + 1) = (-1)^2 + 1 = 1 + 1 = 2 se aproxima de -1:
limx to -1 f(x) = f(-1) Rightarrow 2 = a
Aplicando o critério de continuidade novamente:
Então, .

Resposta

Os valores necessários são e para que a função seja contínua em e .

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