Seja a função tal que
Qual o valor de e de para ser contínua em e ?

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está pedindo. Temos uma função definida de forma diferente para alguns valores de . A pergunta quer saber quais valores e precisam ter para que a função seja contínua em e . Para resolver isso, vamos precisar entender o conceito de continuidade e como calcular limites de funções.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que é continuidade. Uma função é contínua em um ponto se o limite quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função nesse ponto. Matematicamente, para a função ser contínua em , precisamos que:
Nesse caso, queremos que a função seja contínua em e .

Passo 3

Vamos calcular o limite de quando se aproxima de 1. Para e , a função é dada por:
Podemos simplificar essa expressão fatorando o numerador e o denominador.

Passo 4

Fatorando , usamos a identidade :
Então, a expressão original fica:

Passo 5

Agora, podemos cancelar o termo no numerador e no denominador (lembrando que e ):

Passo 6

Com a função simplificada, podemos calcular o limite quando se aproxima de 1:
Segundo o critério de continuidade:
Então, .

Passo 7

Agora, vamos calcular o limite quando se aproxima de -1:
Aplicando o critério de continuidade novamente:
Então, .

Resposta

Os valores necessários são e para que a função seja contínua em e .

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Por causa de sua conexão com retas secantes, retas tangentes e taxa de variação, os limites da forma
ocorrem frequentemente no cálculo. Determine esses limites se:
Determine o valor de para que:
Sendo , calcule e
Prove, usando a definição de limite que .