(ccc 3 & 3 & 1 2 & 2 & -1 1 & -1 & 5 )(l x1 x2 x3 )=(l 7 3 5 )
Ao final, escreva a matriz triangular obtida A^(3) em termos do produto A^(3)=M A, isto é, determine M.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o sistema de equações lineares representado pela matriz:

$$
3 & 3 & 1 2 & 2 & -1 1 & -1 & 5 x1 x2 x3 = 7 3 5
M

A
$$
Estamos trabalhando com Eliminação de Gauss, uma técnica pra transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz triangular superior. Para isso, vamos precisar fazer operações nas linhas da matriz para zerar certos elementos. No final, também vamos descobrir qual matriz A^(3) foi usada para transformar a matriz original na triangular .

Passo 2

Primeiro, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô, que é o 3 na posição (1,1). Para isso, vamos modificar a segunda e a terceira linha.
  • Para a segunda linha:
    Queremos que o primeiro elemento seja zero. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por 23 e subtrair da segunda linha.
    Linha 2 = Linha 2 - 23 times Linha 1
    Fazendo as contas:
    2 - 23 times 3 &= 2 - 2 = 0 2 - 23 times 3 &= 2 - 2 = 0 -1 - 23 times 1 &= -1 - 23 = -53 3 - 23 times 7 &= 3 - 143 = -53
  • Para a terceira linha:
    Da mesma forma, vamos multiplicar a primeira linha por 13 e subtrair da terceira linha.
    Linha 3 = Linha 3 - 13 times Linha 1
    Calculando:
    1 - 13 times 3 &= 1 - 1 = 0 -1 - 13 times 3 &= -1 - 1 = -2 5 - 13 times 1 &= 5 - 13 = 143 5 - 13 times 7 &= 5 - 73 = 83
Após essas operações, a matriz fica assim:
A^(2) = 3 & 3 & 1 0 & 0 & -53 0 & -2 & 143

Passo 3

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô. Observamos que na segunda linha, o segundo elemento é 0, então vamos trocar a segunda e a terceira linhas para facilitar.
Após a troca:
A^(2) = 3 & 3 & 1 0 & -2 & 143 0 & 0 & -53
Com isso, já temos a matriz triangular superior desejada:
A^(3) = 3 & 3 & 1 0 & -2 & 143 0 & 0 & -53

Resposta

A matriz triangular obtida é:
A^(3) = 3 & 3 & 1 0 & -2 & 143 0 & 0 & -53
Ela pode ser expressa como o produto A^(3) = M A, onde a matriz M utilizada para a transformação é:
M = 1 & 0 & 0 -23 & 1 & 0 -13 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 0 & 1 & 1

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