Ao final, escreva a matriz triangular obtida em termos do produto , isto é, determine .

Passo 1

Beleza! Vamos resolver o sistema de equações lineares representado pela matriz:

$$

$$
Estamos trabalhando com Eliminação de Gauss, uma técnica pra transformar a matriz dos coeficientes em uma matriz triangular superior. Para isso, vamos precisar fazer operações nas linhas da matriz para zerar certos elementos. No final, também vamos descobrir qual matriz foi usada para transformar a matriz original na triangular .

Passo 2

Primeiro, vamos zerar o elemento abaixo do primeiro pivô, que é o 3 na posição (1,1). Para isso, vamos modificar a segunda e a terceira linha.
  • Para a segunda linha:
    Queremos que o primeiro elemento seja zero. Para isso, podemos multiplicar a primeira linha por e subtrair da segunda linha.
    Fazendo as contas:
  • Para a terceira linha:
    Da mesma forma, vamos multiplicar a primeira linha por e subtrair da terceira linha.
    Calculando:
Após essas operações, a matriz fica assim:

Passo 3

Agora, vamos zerar o elemento abaixo do segundo pivô. Observamos que na segunda linha, o segundo elemento é 0, então vamos trocar a segunda e a terceira linhas para facilitar.
Após a troca:
Com isso, já temos a matriz triangular superior desejada:

Resposta

A matriz triangular obtida é:
Ela pode ser expressa como o produto , onde a matriz utilizada para a transformação é:

Exercícios relacionados

Usando eliminação de Gauss, verifique que o sistema linear
(b) possui infinitas soluções quando .
Considere o sistema linear
(a) Resolva-a o pelo método de eliminação Gaussiana com pivoteamento parcial, trabalhando com arredondamento para dois dígitos significativos em cada operação.
Obtenha as inversas destas matrizes usando o procedimento do exercício anterior.
Suponha que a matriz simétrica de dimensão possui uma única decomposição , sendo uma matriz diagonal, uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior tais que
(a) Utilizando a fórmula para tranposta de um produto de matrizes: , mostre que .