Obtenha as inversas destas matrizes usando o procedimento do exercício anterior.
Passo 1
Olha, o que a gente tem aqui são duas matrizes, A e B, e a tarefa é encontrar as inversas delas. A matéria que a gente vai usar é Álgebra Linear, especificamente o método para achar a matriz inversa usando matrizes aumentadas. Vamos precisar seguir um passo a passo bem claro para chegar na resposta final.
Passo 2
Primeiro, vamos trabalhar com a matriz A. A matriz A é:
Para encontrar a inversa de A, a gente vai construir uma matriz aumentada onde anexa a matriz identidade do mesmo tamanho. Assim, temos:
Passo 3
Agora, vamos usar operações de linha para transformar a parte esquerda da matriz aumentada (a matriz A) na matriz identidade. Tudo o que fizermos nas linhas à esquerda, aplicamos também nas linhas à direita.
Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna.
Subtraia 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 4 * Linha1
Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha1
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 4
Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que está na segunda coluna da segunda linha. Queremos que ele seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por 6:
Linha2 = Linha2 / 6
A matriz fica:
Passo 5
Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo do segundo pivô (1 na segunda coluna).
Adicione 2 vezes a segunda linha à primeira linha:
Linha1 = Linha1 + 2 * Linha2
Subtraia 8 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 8 * Linha2
Após essas operações:
Passo 6
Agora, vamos para o terceiro pivô, que está na terceira coluna da terceira linha. Queremos que ele seja 1, então dividimos a terceira linha por -12:
Linha3 = Linha3 / (-12)
A matriz fica:
Passo 7
Por último, vamos zerar os elementos acima do terceiro pivô.
Subtraia 2 vezes a terceira linha da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 2 * Linha3
Subtraia 2.5 vezes a terceira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 2.5 * Linha3
Após essas operações, a matriz aumentada fica com a parte esquerda como identidade e a direita como a inversa de A:
Então, a inversa de A é:
Passo 8
Agora, vamos fazer o mesmo para a matriz B. A matriz B é:
Vamos montar a matriz aumentada com a identidade:
Passo 9
Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna.
Subtraia 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 4 * Linha1
Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha1
Após essas operações, a matriz fica:
Passo 10
Agora, trabalhamos com o segundo pivô. Vamos dividir a segunda linha por 6 para que o pivô seja 1:
Linha2 = Linha2 / 6
A matriz fica:
Passo 11
Vamos zerar os elementos acima e abaixo do segundo pivô.
Adicione 2 vezes a segunda linha à primeira linha:
Linha1 = Linha1 + 2 * Linha2
Subtraia 6 vezes a segunda linha da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 6 * Linha2
Após essas operações:
Passo 12
Agora, vamos ajustar o terceiro pivô para 1. Multiplicamos a terceira linha por -1:
Linha3 = -1 * Linha3
A matriz fica:
Passo 13
Por fim, vamos zerar os elementos acima do terceiro pivô.
Subtraia 2 vezes a terceira linha da primeira linha:
Linha1 = Linha1 - 2 * Linha3
Subtraia 2.5 vezes a terceira linha da segunda linha:
Linha2 = Linha2 - 2.5 * Linha3
Após essas operações, a matriz aumentada fica com a parte esquerda como identidade e a direita como a inversa de B: