Obtenha as inversas destas matrizes usando o procedimento do exercício anterior.

Passo 1

Olha, o que a gente tem aqui são duas matrizes, A e B, e a tarefa é encontrar as inversas delas. A matéria que a gente vai usar é Álgebra Linear, especificamente o método para achar a matriz inversa usando matrizes aumentadas. Vamos precisar seguir um passo a passo bem claro para chegar na resposta final.

Passo 2

Primeiro, vamos trabalhar com a matriz A. A matriz A é:
Para encontrar a inversa de A, a gente vai construir uma matriz aumentada onde anexa a matriz identidade do mesmo tamanho. Assim, temos:

Passo 3

Agora, vamos usar operações de linha para transformar a parte esquerda da matriz aumentada (a matriz A) na matriz identidade. Tudo o que fizermos nas linhas à esquerda, aplicamos também nas linhas à direita.
Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna.
  • Subtraia 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
    Linha2 = Linha2 - 4 * Linha1
  • Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
    Linha3 = Linha3 - 2 * Linha1
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 4

Agora, vamos trabalhar com o segundo pivô, que está na segunda coluna da segunda linha. Queremos que ele seja 1. Para isso, dividimos a segunda linha por 6:
Linha2 = Linha2 / 6
A matriz fica:

Passo 5

Em seguida, vamos zerar os elementos acima e abaixo do segundo pivô (1 na segunda coluna).
  • Adicione 2 vezes a segunda linha à primeira linha:
    Linha1 = Linha1 + 2 * Linha2
  • Subtraia 8 vezes a segunda linha da terceira linha:
    Linha3 = Linha3 - 8 * Linha2
Após essas operações:

Passo 6

Agora, vamos para o terceiro pivô, que está na terceira coluna da terceira linha. Queremos que ele seja 1, então dividimos a terceira linha por -12:
Linha3 = Linha3 / (-12)
A matriz fica:

Passo 7

Por último, vamos zerar os elementos acima do terceiro pivô.
  • Subtraia 2 vezes a terceira linha da primeira linha:
    Linha1 = Linha1 - 2 * Linha3
  • Subtraia 2.5 vezes a terceira linha da segunda linha:
    Linha2 = Linha2 - 2.5 * Linha3
Após essas operações, a matriz aumentada fica com a parte esquerda como identidade e a direita como a inversa de A:
Então, a inversa de A é:

Passo 8

Agora, vamos fazer o mesmo para a matriz B. A matriz B é:
Vamos montar a matriz aumentada com a identidade:

Passo 9

Primeiro, vamos zerar os elementos abaixo do primeiro 1 na primeira coluna.
  • Subtraia 4 vezes a primeira linha da segunda linha:
    Linha2 = Linha2 - 4 * Linha1
  • Subtraia 2 vezes a primeira linha da terceira linha:
    Linha3 = Linha3 - 2 * Linha1
Após essas operações, a matriz fica:

Passo 10

Agora, trabalhamos com o segundo pivô. Vamos dividir a segunda linha por 6 para que o pivô seja 1:
Linha2 = Linha2 / 6
A matriz fica:

Passo 11

Vamos zerar os elementos acima e abaixo do segundo pivô.
  • Adicione 2 vezes a segunda linha à primeira linha:
    Linha1 = Linha1 + 2 * Linha2
  • Subtraia 6 vezes a segunda linha da terceira linha:
    Linha3 = Linha3 - 6 * Linha2
Após essas operações:

Passo 12

Agora, vamos ajustar o terceiro pivô para 1. Multiplicamos a terceira linha por -1:
Linha3 = -1 * Linha3
A matriz fica:

Passo 13

Por fim, vamos zerar os elementos acima do terceiro pivô.
  • Subtraia 2 vezes a terceira linha da primeira linha:
    Linha1 = Linha1 - 2 * Linha3
  • Subtraia 2.5 vezes a terceira linha da segunda linha:
    Linha2 = Linha2 - 2.5 * Linha3
Após essas operações, a matriz aumentada fica com a parte esquerda como identidade e a direita como a inversa de B:
Então, a inversa de B é:

Resposta

As inversas das matrizes são:
e

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