Usando eliminação de Gauss, verifique que o sistema linear
[ccc 1 & 4 & alpha 2 & -1 & 2 alpha & 3 & 1 ][l x1 x2 x3 ]=[l 6 3 5 ]
(b) possui infinitas soluções quando alpha=1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a eliminação de Gauss. O enunciado nos dá uma matriz com parâmetro e quer saber se, quando , o sistema tem infinitas soluções. Para isso, vamos precisar manipular as linhas da matriz para chegar na forma escalonada e ver como elas se comportam quando .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma aumentada, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
[ccc|c 1 & 4 & 1 & 6 2 & -1 & 2 & 3 1 & 3 & 1 & 5 ]
Aqui, substituímos conforme solicitado.

Passo 3

Agora, nosso objetivo é eliminar os termos abaixo do primeiro pivô (que é o 1 na posição (1,1)). Para isso, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Operação na linha 2: [ccc|c 1 & 4 & 1 & 6 0 & -9 & 0 & -9 1 & 3 & 1 & 5 ]

Passo 4

Operação na linha 3: [ccc|c 1 & 4 & 1 & 6 0 & -9 & 0 & -9 0 & -1 & 0 & -1 ]

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo tudo por [ccc|c 1 & 4 & 1 & 6 0 & 1 & 0 & 1 0 & -1 & 0 & -1 ] para facilitar:
Operação na linha 2:

Passo 6

Em seguida, vamos usar a segunda linha para eliminar o termo abaixo dela na segunda coluna.
Operação na linha 3: [ccc|c 1 & 4 & 1 & 6 0 & 1 & 0 & 1 0 & 0 & 0 & 0 ]

Passo 7

Agora, observamos que a terceira linha se tornou , o que indica que temos uma equação redundante. Isso significa que o sistema não tem restrições adicionais e depende de uma variável livre. Portanto, o sistema tem infinitas soluções quando .

Resposta

Quando , o sistema linear possui infinitas soluções.

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