Usando eliminação de Gauss, verifique que o sistema linear
(b) possui infinitas soluções quando .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a eliminação de Gauss. O enunciado nos dá uma matriz com parâmetro e quer saber se, quando , o sistema tem infinitas soluções. Para isso, vamos precisar manipular as linhas da matriz para chegar na forma escalonada e ver como elas se comportam quando .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma aumentada, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
Aqui, substituímos conforme solicitado.

Passo 3

Agora, nosso objetivo é eliminar os termos abaixo do primeiro pivô (que é o 1 na posição (1,1)). Para isso, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Operação na linha 2:

Passo 4

Operação na linha 3:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo tudo por para facilitar:
Operação na linha 2:

Passo 6

Em seguida, vamos usar a segunda linha para eliminar o termo abaixo dela na segunda coluna.
Operação na linha 3:

Passo 7

Agora, observamos que a terceira linha se tornou , o que indica que temos uma equação redundante. Isso significa que o sistema não tem restrições adicionais e depende de uma variável livre. Portanto, o sistema tem infinitas soluções quando .

Resposta

Quando , o sistema linear possui infinitas soluções.

Exercícios relacionados

Considere o sistema linear
(a) Resolva-a o pelo método de eliminação Gaussiana com pivoteamento parcial, trabalhando com arredondamento para dois dígitos significativos em cada operação.
usando em todas operações três dígitos significativos.
Resolver o mesmo sistema linear pelo método de Eliminação de Gauss com pivoteamento parcial, usando em todas as operações três dígitos significativos.
Ao final, escreva a matriz triangular obtida em termos do produto , isto é, determine .
Obtenha as inversas destas matrizes usando o procedimento do exercício anterior.