Usando eliminação de Gauss, verifique que o sistema linear
(b) possui infinitas soluções quando .
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema linear usando a eliminação de Gauss. O enunciado nos dá uma matriz com parâmetro e quer saber se, quando , o sistema tem infinitas soluções. Para isso, vamos precisar manipular as linhas da matriz para chegar na forma escalonada e ver como elas se comportam quando .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema na forma aumentada, que junta os coeficientes das variáveis com os termos constantes:
Aqui, substituímos conforme solicitado.
Passo 3
Agora, nosso objetivo é eliminar os termos abaixo do primeiro pivô (que é o 1 na posição (1,1)). Para isso, vamos usar a primeira linha para zerar os elementos abaixo dela na primeira coluna.
Operação na linha 2:
Passo 4
Operação na linha 3:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha dividindo tudo por para facilitar:
Operação na linha 2:
Passo 6
Em seguida, vamos usar a segunda linha para eliminar o termo abaixo dela na segunda coluna.
Operação na linha 3:
Passo 7
Agora, observamos que a terceira linha se tornou , o que indica que temos uma equação redundante. Isso significa que o sistema não tem restrições adicionais e depende de uma variável livre. Portanto, o sistema tem infinitas soluções quando .
Resposta
Quando , o sistema linear possui infinitas soluções.