Suponha que a matriz simétrica
de dimensão
possui uma única decomposição
, sendo
uma matriz diagonal,
uma matriz triangular inferior e
uma matriz triangular superior tais que
(a) Utilizando a fórmula para tranposta de um produto de matrizes:
, mostre que
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica
de dimensão
que pode ser decomposta de forma única como
. Aqui:
-
é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal. -
é uma matriz diagonal. -
é uma matriz triangular superior com 1’s na diagonal.
Queremos mostrar que
é igual à transposta de
, ou seja,
. Para isso, vamos usar a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que
.
Passo 2
Como
é simétrica, sabemos que
. Vamos escrever a decomposição de
e sua transposta:
Passo 3
Aplicando a propriedade da transposta do produto de matrizes:
Passo 4
Como
é uma matriz diagonal, sua transposta é ela mesma, ou seja,
. Então:
Passo 5
Sabemos que
, então substituindo:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por
(como
é diagonal e não singular) temos:
Passo 7
Como
é triangular inferior com 1’s na diagonal e
é triangular superior com 1’s na diagonal, para que a igualdade acima seja válida, é necessário que
seja a transposta de
.
Resposta
Portanto, mostramos que
.