Suponha que a matriz simétrica A de dimensão n times n possui uma única decomposição A= L times D times U, sendo D=(di, j) uma matriz diagonal, L=(elli, j) uma matriz triangular inferior e U=(ui, j) uma matriz triangular superior tais que
elli, i=ui, i=1, i=1,2, ldots, n
(a) Utilizando a fórmula para tranposta de um produto de matrizes: (M N)^t=N^t M^t, mostre que U=L^t.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica de dimensão que pode ser decomposta de forma única como . Aqui:
  • é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal.
  • é uma matriz diagonal.
  • é uma matriz triangular superior com 1’s na diagonal.
Queremos mostrar que é igual à transposta de , ou seja, . Para isso, vamos usar a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que .

Passo 2

Como A = L times D times U é simétrica, sabemos que A^t = (L times D times U)^t . Vamos escrever a decomposição de e sua transposta:

Passo 3

Aplicando a propriedade da transposta do produto de matrizes:
A^t = (U)^t times (D)^t times (L)^t

Passo 4

Como A^t = U^t times D times L^t é uma matriz diagonal, sua transposta é ela mesma, ou seja, . Então:

Passo 5

Sabemos que L times D times U = U^t times D times L^t , então substituindo:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por L times U = U^t times L^t (como é diagonal e não singular) temos:

Passo 7

Como é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior com 1’s na diagonal, para que a igualdade acima seja válida, é necessário que seja a transposta de .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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