Suponha que a matriz simétrica de dimensão possui uma única decomposição , sendo uma matriz diagonal, uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior tais que
(a) Utilizando a fórmula para tranposta de um produto de matrizes: , mostre que .

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica de dimensão que pode ser decomposta de forma única como . Aqui:
  • é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal.
  • é uma matriz diagonal.
  • é uma matriz triangular superior com 1’s na diagonal.
Queremos mostrar que é igual à transposta de , ou seja, . Para isso, vamos usar a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que .

Passo 2

Como é simétrica, sabemos que . Vamos escrever a decomposição de e sua transposta:

Passo 3

Aplicando a propriedade da transposta do produto de matrizes:

Passo 4

Como é uma matriz diagonal, sua transposta é ela mesma, ou seja, . Então:

Passo 5

Sabemos que , então substituindo:

Passo 6

Multiplicando ambos os lados por (como é diagonal e não singular) temos:

Passo 7

Como é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior com 1’s na diagonal, para que a igualdade acima seja válida, é necessário que seja a transposta de .

Resposta

Portanto, mostramos que .

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Obtenha as inversas destas matrizes usando o procedimento do exercício anterior.
Ao final, escreva a matriz triangular obtida em termos do produto , isto é, determine .
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em que os vetores são as colunas da matriz identidade de ordem e os vetores são as colunas de . Utilizando decomposição LU, inverta a matriz