Suponha que a matriz simétrica de dimensão possui uma única decomposição , sendo uma matriz diagonal, uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior tais que
(a) Utilizando a fórmula para tranposta de um produto de matrizes: , mostre que .
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma matriz simétrica de dimensão que pode ser decomposta de forma única como . Aqui:
é uma matriz triangular inferior com 1’s na diagonal.
é uma matriz diagonal.
é uma matriz triangular superior com 1’s na diagonal.
Queremos mostrar que é igual à transposta de , ou seja, . Para isso, vamos usar a propriedade da transposta de um produto de matrizes, que diz que .
Passo 2
Como é simétrica, sabemos que . Vamos escrever a decomposição de e sua transposta:
Passo 3
Aplicando a propriedade da transposta do produto de matrizes:
Passo 4
Como é uma matriz diagonal, sua transposta é ela mesma, ou seja, . Então:
Passo 5
Sabemos que , então substituindo:
Passo 6
Multiplicando ambos os lados por (como é diagonal e não singular) temos:
Passo 7
Como é triangular inferior com 1’s na diagonal e é triangular superior com 1’s na diagonal, para que a igualdade acima seja válida, é necessário que seja a transposta de .