(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de e .
(b) Para quais valores de e o sistema linear
  • admite infinitas soluções;
  • admite solução única;
  • não admite solução;
    Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da Eliminação de Gauss. Esse método vai ajudar a simplificar o sistema, eliminando variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar trabalhar com as matrizes e fazer operações entre as linhas para chegar numa forma mais simples, deixando os valores em função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 4 na posição (1,1)). Para simplificar, o próximo passo é zerar o elemento na posição (2,1).
Faremos isso multiplicando a primeira linha por e subtraindo da segunda linha:
Após a operação:

Passo 4

Em seguida, vamos zerar o elemento na posição (3,1). Para isso, multiplicamos a primeira linha por e somamos à terceira linha:
Após a operação:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha para facilitar os próximos passos. Multiplicamos a segunda linha por 2 para eliminar o denominador:
Após a operação:

Passo 6

Vamos agora zerar o elemento na posição (3,2). Para isso, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
Após a operação:
Simplificando o terceiro elemento da coluna das constantes:
Então, a matriz fica:

Passo 7

Agora, podemos escrever as equações correspondentes:

Passo 8

Vamos resolver a terceira equação para :

Passo 9

Agora que temos e , substituímos na primeira equação para encontrar :
Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos para a parte (b) e analisar para quais valores de e o sistema tem:
  • Infinitas soluções
  • Solução única
  • Nenhuma solução

Passo 11

Para que o sistema tenha solução única, o denominador das expressões para e não pode ser zero, ou seja:
E também:
Portanto, se , o sistema possui uma única solução.

Passo 12

Para que o sistema tenha infinitas soluções ou nenhuma solução, o denominador precisa ser zero, ou seja, . Vamos analisar esse caso.
Substituindo na última equação da matriz, temos:
Isso implica que:
  • Se , ou seja, , a equação se torna , que é verdadeira para qualquer . Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções.
  • Se , a equação fica , o que é impossível. Portanto, o sistema não admite solução.

Resposta

  • Admite infinitas soluções quando e .
  • Admite solução única para qualquer valor de diferente de .
  • Não admite solução quando e .

Exercícios relacionados

Resolva o sistema
por:
(b) eliminação Gaussiana.
Pede-se:
(a) encontre o conjunto solução da equação ;
(b) utilizando o maior valor de encontrado no item anterior, encontre o valor de para que o sistema linear tenha infinitas soluções. (Use o processo da eliminação de Gauss).
Suponha que a matriz simétrica de dimensão possui uma única decomposição , sendo uma matriz diagonal, uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior tais que
(b) Se os elementos da matriz diagonal são todos positivos, mostre que possui uma fatoração da forma , sendo uma matriz triangular inferior (tal decomposição é chamada de decomposição de Cholesky).