(ccc 4 & -1 & 2 2 & 0 & 1 -1 & 1 & w ) x=(l 2 5 r )
(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de w e r.
(b) Para quais valores de w e r o sistema linear
  • admite infinitas soluções;
  • admite solução única;
  • não admite solução;
    Justifique.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da Eliminação de Gauss. Esse método vai ajudar a simplificar o sistema, eliminando variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar trabalhar com as matrizes e fazer operações entre as linhas para chegar numa forma mais simples, deixando os valores em função de e .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
[ccc|c 4 & -1 & 2 & 2 2 & 0 & 1 & 5 -1 & 1 & w & r ]

Passo 3

Agora, vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 4 na posição (1,1)). Para simplificar, o próximo passo é zerar o elemento na posição (2,1).
Faremos isso multiplicando a primeira linha por L2 = L2 - (12)L1 e subtraindo da segunda linha:
[ccc|c 4 & -1 & 2 & 2 0 & 12 & 0 & 4 -1 & 1 & w & r ]
Após a operação:

Passo 4

Em seguida, vamos zerar o elemento na posição (3,1). Para isso, multiplicamos a primeira linha por L3 = L3 + (-14)L1 e somamos à terceira linha:
[ccc|c 4 & -1 & 2 & 2 0 & 12 & 0 & 4 0 & 34 & w - 12 & r - 12 ]
Após a operação:

Passo 5

Agora, vamos simplificar a segunda linha para facilitar os próximos passos. Multiplicamos a segunda linha por 2 para eliminar o denominador:
L2 = 2 times L2
Após a operação:
[ccc|c 4 & -1 & 2 & 2 0 & 1 & 0 & 8 0 & 34 & w - 12 & r - 12 ]

Passo 6

Vamos agora zerar o elemento na posição (3,2). Para isso, multiplicamos a segunda linha por L3 = L3 - (34)L2 e subtraímos da terceira linha:
[ccc|c 4 & -1 & 2 & 2 0 & 1 & 0 & 8 0 & 0 & w - 12 & r - 12 - 6 ]
Após a operação:
r - 12 - 6 = r - 132
Simplificando o terceiro elemento da coluna das constantes:
[ccc|c 4 & -1 & 2 & 2 0 & 1 & 0 & 8 0 & 0 & w - 12 & r - 132 ]
Então, a matriz fica:

Passo 7

Agora, podemos escrever as equações correspondentes:

Passo 8

Vamos resolver a terceira equação para z = r - 132w - 12 = 2r - 132w - 1 :

Passo 9

Agora que temos 4x - 8 + 2(2r - 132w - 1) = 2 e 4x = 2 + 8 - 4r - 262w - 1 = 10 - 4r - 262w - 1 , substituímos na primeira equação para encontrar x = 104 - 4r - 264(2w - 1) = 52 - 4r - 268w - 4 :
x = 5(2w - 1) - (4r - 26)2(2w - 1) = 10w - 5 - 4r + 264w - 2 = 10w - 4r + 214w - 2
Resolvendo para :
Simplificando:

Passo 10

Agora, vamos para a parte (b) e analisar para quais valores de e o sistema tem:
  • Infinitas soluções
  • Solução única
  • Nenhuma solução

Passo 11

Para que o sistema tenha solução única, o denominador das expressões para 4w - 2 neq 0 Rightarrow w neq 12 e 2w - 1 neq 0 Rightarrow w neq 12 não pode ser zero, ou seja:
E também:
Portanto, se , o sistema possui uma única solução.

Passo 12

Para que o sistema tenha infinitas soluções ou nenhuma solução, o denominador precisa ser zero, ou seja, (w - 12)z = r - 132 Rightarrow 0 cdot z = r - 132 . Vamos analisar esse caso.
Substituindo na última equação da matriz, temos:
Isso implica que:
  • Se , ou seja, , a equação se torna , que é verdadeira para qualquer . Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções.
  • Se , a equação fica , o que é impossível. Portanto, o sistema não admite solução.

Resposta

  • Admite infinitas soluções quando e .
  • Admite solução única para qualquer valor de diferente de .
  • Não admite solução quando e .

Exercícios relacionados