(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de e .
(b) Para quais valores de e o sistema linear
admite infinitas soluções;
admite solução única;
não admite solução;
Justifique.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método da Eliminação de Gauss. Esse método vai ajudar a simplificar o sistema, eliminando variáveis para facilitar a resolução. Vamos precisar trabalhar com as matrizes e fazer operações entre as linhas para chegar numa forma mais simples, deixando os valores em função de e .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever o sistema de equações na forma de uma matriz aumentada:
Passo 3
Agora, vamos começar a eliminar os elementos abaixo do primeiro pivô (que é 4 na posição (1,1)). Para simplificar, o próximo passo é zerar o elemento na posição (2,1).
Faremos isso multiplicando a primeira linha por e subtraindo da segunda linha:
Após a operação:
Passo 4
Em seguida, vamos zerar o elemento na posição (3,1). Para isso, multiplicamos a primeira linha por e somamos à terceira linha:
Após a operação:
Passo 5
Agora, vamos simplificar a segunda linha para facilitar os próximos passos. Multiplicamos a segunda linha por 2 para eliminar o denominador:
Após a operação:
Passo 6
Vamos agora zerar o elemento na posição (3,2). Para isso, multiplicamos a segunda linha por e subtraímos da terceira linha:
Após a operação:
Simplificando o terceiro elemento da coluna das constantes:
Então, a matriz fica:
Passo 7
Agora, podemos escrever as equações correspondentes:
Passo 8
Vamos resolver a terceira equação para :
Passo 9
Agora que temos e , substituímos na primeira equação para encontrar :
Resolvendo para :
Simplificando:
Passo 10
Agora, vamos para a parte (b) e analisar para quais valores de e o sistema tem:
Infinitas soluções
Solução única
Nenhuma solução
Passo 11
Para que o sistema tenha solução única, o denominador das expressões para e não pode ser zero, ou seja:
E também:
Portanto, se , o sistema possui uma única solução.
Passo 12
Para que o sistema tenha infinitas soluções ou nenhuma solução, o denominador precisa ser zero, ou seja, . Vamos analisar esse caso.
Substituindo na última equação da matriz, temos:
Isso implica que:
Se , ou seja, , a equação se torna , que é verdadeira para qualquer . Nesse caso, o sistema tem infinitas soluções.
Se , a equação fica , o que é impossível. Portanto, o sistema não admite solução.
Resposta
Admite infinitas soluções quando e .
Admite solução única para qualquer valor de diferente de .