Resolva o sistema
por:
(b) eliminação Gaussiana.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( , e ) e precisamos resolvê-lo usando eliminação Gaussiana. A eliminação Gaussiana é um método para simplificar sistemas lineares, transformando a matriz dos coeficientes em uma forma triangular para facilitar a resolução.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, ou seja, zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha, que já é 5. Agora, queremos eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.

Passo 4

Para eliminar o da segunda linha, usamos a operação de linha: linha 2 = linha 2 + (1/5) * linha 1.
Calculando:
A matriz fica:

Passo 5

Agora, eliminamos o 2 da terceira linha usando a operação: linha 3 = linha 3 - (2/5) * linha 1.
Calculando:
A matriz agora é:

Passo 6

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando todos os elementos por para tornar o coeficiente de igual a 1:
Então, a segunda linha fica:
A matriz atualizada:

Passo 7

Eliminamos o da terceira linha usando a operação: linha 3 = linha 3 + \frac{19}{5} \times linha 2.
Calculando:
A matriz agora é:

Passo 8

Agora que temos uma matriz triangular, começamos a resolver de baixo para cima. Primeiro, da terceira linha:

Passo 9

Substituímos na segunda linha:

Passo 10

Finalmente, substituímos e na primeira linha:

Resposta

A solução do sistema é:

Exercícios relacionados

Considere o sistema linear
(b) Para quais valores de e o sistema linear
  • admite infinitas soluções;
  • admite solução única;
  • não admite solução;
    Justifique.
em que os vetores são as colunas da matriz identidade de ordem e os vetores são as colunas de . Utilizando decomposição LU, inverta a matriz
(a) Aplique o método da Eliminação de Gauss, sem pivoteamento parcial, deixando os valores em função de e .
(b) Para quais valores de e o sistema linear
  • admite infinitas soluções;
  • admite solução única;
  • não admite solução;
    Justifique.