Resolva o sistema
rrr 5 x1+2 x2+x3= & -12 -x1+4 x2+2 x3= & 20 2 x1-3 x2+10 x3= & 3
por:
(b) eliminação Gaussiana.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um sistema de três equações com três incógnitas ( x1, x2 e x3) e precisamos resolvê-lo usando eliminação Gaussiana. A eliminação Gaussiana é um método para simplificar sistemas lineares, transformando a matriz dos coeficientes em uma forma triangular para facilitar a resolução.

Passo 2

Escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada, que inclui os coeficientes das incógnitas e os termos constantes:
5 & 2 & 1 & | & -12 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 10 & | & 3

Passo 3

Nosso objetivo é transformar essa matriz em uma forma triangular, ou seja, zeros abaixo da diagonal principal. Vamos começar pelo primeiro elemento da primeira linha, que já é 5. Agora, queremos eliminar os elementos abaixo dele na primeira coluna.

Passo 4

Para eliminar o -1 da segunda linha, usamos a operação de linha: linha 2 = linha 2 + (1/5) * linha 1.
Calculando:
-1 + 15 times 5 = 0 4 + 15 times 2 = 4 + 25 = 225 2 + 15 times 1 = 2 + 15 = 115 20 + 15 times (-12) = 20 - 125 = 885
A matriz fica:
5 & 2 & 1 & | & -12 0 & 225 & 115 & | & 885 2 & -3 & 10 & | & 3

Passo 5

Agora, eliminamos o 2 da terceira linha usando a operação: linha 3 = linha 3 - (2/5) * linha 1.
Calculando:
2 - 25 times 5 = 2 - 2 = 0 -3 - 25 times 2 = -3 - 45 = -195 10 - 25 times 1 = 10 - 25 = 485 3 - 25 times (-12) = 3 + 245 = 395
A matriz agora é:
5 & 2 & 1 & | & -12 0 & 225 & 115 & | & 885 0 & -195 & 485 & | & 395

Passo 6

Vamos simplificar a segunda linha multiplicando todos os elementos por 522 para tornar o coeficiente de x2 igual a 1:
0 times 522 &= 0 225 times 522 &= 1 115 times 522 &= 1122 = 12 885 times 522 &= 8822 = 4
Então, a segunda linha fica:
0 & 1 & 12 & | & 4
A matriz atualizada:
5 & 2 & 1 & | & -12 0 & 1 & 12 & | & 4 0 & -195 & 485 & | & 395

Passo 7

Eliminamos o -195 da terceira linha usando a operação: linha 3 = linha 3 + \frac{19}{5} \times linha 2.
Calculando:
0 + 195 times 0 = 0 -195 + 195 times 1 = 0 485 + 195 times 12 = 485 + 1910 = 9610 + 1910 = 11510 = 232 395 + 195 times 4 = 395 + 765 = 1155 = 23
A matriz agora é:
5 & 2 & 1 & | & -12 0 & 1 & 12 & | & 4 0 & 0 & 232 & | & 23

Passo 8

Agora que temos uma matriz triangular, começamos a resolver de baixo para cima. Primeiro, da terceira linha:
232 x3 = 23 Rightarrow x3 = 23232 = 2

Passo 9

Substituímos x3 = 2 na segunda linha:
x2 + 12 times 2 = 4 x2 + 1 = 4 Rightarrow x2 = 3

Passo 10

Finalmente, substituímos x2 = 3 e x3 = 2 na primeira linha:
5 x1 + 2 times 3 + 2 = -12 5 x1 + 6 + 2 = -12 5 x1 + 8 = -12 5 x1 = -20 Rightarrow x1 = -4

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -4, x2 = 3, x3 = 2

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