P=[lll 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 ], L=[ccc 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 ] e U=[ccc 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3 ]
(a) Utilizando a decomposição acima, resolva o sistema linear A x=b, com b=[c1 2 -1].
(b) Obtenha a matriz A.

Passo 1

Beleza, então vamos lá! A gente tem um sistema linear , e foram fornecidas as matrizes , e que fazem parte de uma decomposição LU com permutação. Isso quer dizer que . Para resolver esse sistema, vamos precisar entender o que cada uma dessas matrizes representa e como usá-las para achar o vetor .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que é uma matriz de permutação. Ela serve para rearranjar as linhas da matriz para facilitar a decomposição LU, especialmente quando há necessidade de trocar linhas por causa de zeros na diagonal durante o processo. Neste caso, multiplicando por , conseguimos .

Passo 3

Nosso objetivo é resolver . Mas já que , podemos reescrever o sistema como . Isso simplifica para .

Passo 4

Vamos definir uma variável intermediária . Assim, nosso sistema fica em duas etapas:
  1. Resolver .
  2. Depois, resolver .

Passo 5

Primeiro, vamos calcular P = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 , . A matriz 1 2 -1 é:
P cdot b = 0 & 1 & 0 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 cdot 1 2 -1 = 2 -1 1
e . Multiplicando por :

Passo 6

Agora, resolvemos L = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 , . A matriz 2 -1 1 é:
2 -5 3
e . Vamos resolver esse sistema por substituição para encontrar :
  1. Primeira equação: .
  2. Segunda equação: .
  3. Terceira equação: .
    Assim, .

Passo 7

Agora que temos U = 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3 , , vamos resolver 2 -5 3. A matriz -3 3 1 é:
e . Novamente, usamos substituição para encontrar :
  1. Terceira equação: .
  2. Segunda equação: .
  3. Primeira equação: .
    Portanto, .

Passo 8

Agora, para a parte (b), vamos encontrar a matriz A = P^-1 cdot L cdot U . Sabemos que L cdot U = 1 & 0 & 0 2 & 1 & 0 -1 & 0 & 1 cdot 2 & 3 & -1 0 & -2 & 1 0 & 0 & 3 = 2 & 3 & -1 4 & 4 & 1 -2 & -3 & 2 , então:
P^-1 = P^T = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0
Como A = P^-1 cdot (L cdot U) = 0 & 0 & 1 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 cdot 2 & 3 & -1 4 & 4 & 1 -2 & -3 & 2 = -2 & -3 & 2 2 & 3 & -1 4 & 4 & 1 é uma matriz de permutação, sua inversa é igual à sua transposta . Calculando e depois multiplicando por :
Primeiro, multiplicamos e :
Agora, multiplicamos por . Como :
Então,

Resposta

(a) A solução do sistema -3 3 1 é A = -2 & -3 & 2 2 & 3 & -1 4 & 4 & 1 .
(b) A matriz é:

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