x x0 x1 cdots xn
f(x) f(x0) f(x1) cdots f(xn)
Deseja-se estimar f(a), a in(x0, xn). Compare os resultados que seriam obtidos quando aproximamos f(x) por
a) um polinômio que interpola f(x) nos n+1 pontos.
b) phi(x)=a0+a1 x+a2 x^2+ldots+an x^n, pelo método dos quadrados mínimos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela com valores de e em vários pontos . A gente quer estimar onde está entre e . Para isso, vamos comparar duas maneiras de aproximar :
a) Usando um polinômio que passa por todos os pontos (interpolação).
b) Usando um polinômio de grau ajustado pelo método dos mínimos quadrados.
Vamos precisar entender o que são essas duas abordagens e como elas funcionam para fazer a estimativa.

Passo 2

Interpolação Polinomial:
Primeiro, vamos falar sobre interpolação. Quando a gente tem Pn(x) = sumi=0^n f(xi) cdot Li(x) pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo Li(x) = prodsubstack0 <= j <= n j neq i x - xjxi - xj que passa exatamente por todos esses pontos. Esse polinômio é chamado de polinômio interpolador.
A vantagem da interpolação é que o polinômio passa exatamente por todos os pontos dados. Isso significa que, se você tiver uma função que é bem comportada e pontos suficientes, a interpolação pode dar uma boa estimativa dentro do intervalo.
A fórmula geral para o polinômio interpolador de Lagrange, por exemplo, é:
Onde são os polinômios de Lagrange definidos por:

Passo 3

Método dos Mínimos Quadrados:
Agora, vamos falar sobre o método dos mínimos quadrados. Diferente da interpolação, que força o polinômio a passar por todos os pontos, o método dos mínimos quadrados busca encontrar o polinômio que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais S = sumi=0^n [ f(xi) - phi(xi) ]^2 e os valores estimados pelo polinômio phi(x) = a0 + a1 x + a2 x^2 + ldots + an x^n .
A expressão que a gente quer minimizar é:
O polinômio que minimiza essa soma é dado por:
Para encontrar os coeficientes , a gente resolve um sistema linear derivado das derivadas parciais de em relação a cada coeficiente, igualando a zero.

Passo 4

Comparando as Abordagens:
Agora que entendemos as duas metodologias, vamos comparar como cada uma estima :
  • Polinômio Interpolador: Como ele passa exatamente por todos os pontos , a estimativa será baseada diretamente na posição de relativa a esses pontos. Se está bem dentro do intervalo e a função é suave, a interpolação pode ser muito precisa. Porém, se a função tiver comportamentos oscilatórios ou se for alto, pode ocorrer o fenômeno de Runge, onde o polinômio oscila demais entre os pontos.
  • Mínimos Quadrados: O polinômio não necessariamente passa por todos os pontos, mas busca um ajuste “melhor” no sentido de minimizar o erro médio quadrático. Isso pode resultar em uma estimativa mais estável e menos sensível a oscilações, especialmente em dados ruidosos ou quando é grande.

Passo 5

Estimativa de :
Para estimar , a gente calcula usando a interpolação e usando os mínimos quadrados. A diferença entre essas duas estimativas depende de como a função se comporta e da distribuição dos pontos :
  • Se for bem aproximada por um polinômio de grau que passa pelos pontos dados, ambas as estimativas serão similares.
  • Se houver ruídos nos dados ou se a função tiver variações complexas, a estimativa por mínimos quadrados tende a ser mais robusta e menos suscetível a erros locais, enquanto a interpolação pode ser mais volátil.

Resposta

Em resumo, ao estimar para entre e :
a) Usando um polinômio interpolador que passa exatamente pelos pontos, a estimativa será precisa nos pontos dados, mas pode oscilar entre eles.
b) Usando o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinômio , a estimativa será mais estável e menos sensível a oscilações, especialmente em dados com ruídos ou para funções mais complexas.
Portanto, a escolha entre interpolação e mínimos quadrados depende das características da função e da qualidade dos dados disponíveis.

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