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Deseja-se estimar
. Compare os resultados que seriam obtidos quando aproximamos
por
a) um polinômio que interpola nos
pontos.
b) , pelo método dos quadrados mínimos.
a) um polinômio que interpola
b)
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma tabela com valores de
e
em vários pontos
. A gente quer estimar
onde
está entre
e
. Para isso, vamos comparar duas maneiras de aproximar
:
a) Usando um polinômio que passa por todos os
pontos (interpolação).
b) Usando um polinômio de grau
ajustado pelo método dos mínimos quadrados.
Vamos precisar entender o que são essas duas abordagens e como elas funcionam para fazer a estimativa.
Passo 2
Interpolação Polinomial:
Primeiro, vamos falar sobre interpolação. Quando a gente tem
pontos distintos, existe um único polinômio de grau no máximo
que passa exatamente por todos esses pontos. Esse polinômio é chamado de polinômio interpolador.
A vantagem da interpolação é que o polinômio passa exatamente por todos os pontos dados. Isso significa que, se você tiver uma função que é bem comportada e
pontos suficientes, a interpolação pode dar uma boa estimativa dentro do intervalo.
A fórmula geral para o polinômio interpolador de Lagrange, por exemplo, é:
Onde
são os polinômios de Lagrange definidos por:
Passo 3
Método dos Mínimos Quadrados:
Agora, vamos falar sobre o método dos mínimos quadrados. Diferente da interpolação, que força o polinômio a passar por todos os pontos, o método dos mínimos quadrados busca encontrar o polinômio que minimiza a soma dos quadrados das diferenças entre os valores reais
e os valores estimados pelo polinômio
.
A expressão que a gente quer minimizar é:
O polinômio que minimiza essa soma é dado por:
Para encontrar os coeficientes
, a gente resolve um sistema linear derivado das derivadas parciais de
em relação a cada coeficiente, igualando a zero.
Passo 4
Comparando as Abordagens:
Agora que entendemos as duas metodologias, vamos comparar como cada uma estima
:
-
Polinômio Interpolador: Como ele passa exatamente por todos os pontos
, a estimativa será baseada diretamente na posição de relativa a esses pontos. Se está bem dentro do intervalo e a função é suave, a interpolação pode ser muito precisa. Porém, se a função tiver comportamentos oscilatórios ou se for alto, pode ocorrer o fenômeno de Runge, onde o polinômio oscila demais entre os pontos. -
Mínimos Quadrados: O polinômio
não necessariamente passa por todos os pontos, mas busca um ajuste “melhor” no sentido de minimizar o erro médio quadrático. Isso pode resultar em uma estimativa mais estável e menos sensível a oscilações, especialmente em dados ruidosos ou quando é grande.
Passo 5
Estimativa de
:
Para estimar
, a gente calcula
usando a interpolação e
usando os mínimos quadrados. A diferença entre essas duas estimativas depende de como a função
se comporta e da distribuição dos pontos
:
-
Se
for bem aproximada por um polinômio de grau que passa pelos pontos dados, ambas as estimativas serão similares. -
Se houver ruídos nos dados ou se a função tiver variações complexas, a estimativa por mínimos quadrados
tende a ser mais robusta e menos suscetível a erros locais, enquanto a interpolação pode ser mais volátil.
Resposta
Em resumo, ao estimar
para
entre
e
:
a) Usando um polinômio interpolador que passa exatamente pelos
pontos, a estimativa
será precisa nos pontos dados, mas pode oscilar entre eles.
b) Usando o método dos mínimos quadrados para ajustar um polinômio
, a estimativa
será mais estável e menos sensível a oscilações, especialmente em dados com ruídos ou para funções mais complexas.
Portanto, a escolha entre interpolação e mínimos quadrados depende das características da função
e da qualidade dos dados disponíveis.