Use o método de Jordan para determinar a solução aproximada, com duas casas decimais, dos seguintes sistemas lineares. Quando necessário, use o refinamento de soluções para encontrar as soluções refinadas x1, x2, x3.
(b) x+y+2 z+4 t & =7,12 x+y+5 z+6 t & =12,02 2 x+5 y+z+2 t & =14,90 4 x+6 y+2 z+t & =20,72

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Gauss-Jordan. A gente tem um sistema com quatro equações e quatro variáveis: , , e . Nosso objetivo é encontrar os valores aproximados dessas variáveis com duas casas decimais. Para isso, vamos montar a matriz aumentada do sistema e aplicar operações matemáticas para simplificar até encontrar as soluções.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever o sistema na forma de matriz aumentada:
1 & 1 & 2 & 4 & | & 7,12 1 & 1 & 5 & 6 & | & 12,02 2 & 5 & 1 & 2 & | & 14,90 4 & 6 & 2 & 1 & | & 20,72
Aqui, cada linha representa uma equação do sistema, e as colunas representam os coeficientes das variáveis , , e , respectivamente, com a última coluna sendo os resultados.

Passo 3

Vamos começar eliminando o primeiro elemento da segunda, terceira e quarta linhas para ter zeros abaixo do primeiro elemento da primeira linha. Para isso, fazemos:
  • Linha 2 = Linha 2 - Linha 1
1 & 1 & 2 & 4 & | & 7,12 0 & 0 & 3 & 2 & | & 4,90 2 & 5 & 1 & 2 & | & 14,90 4 & 6 & 2 & 1 & | & 20,72
  • Linha 3 = Linha 3 - 2 \times Linha 1
1 & 1 & 2 & 4 & | & 7,12 0 & 0 & 3 & 2 & | & 4,90 0 & 3 & -3 & -6 & | & 0,66 4 & 6 & 2 & 1 & | & 20,72
  • Linha 4 = Linha 4 - 4 \times Linha 1
1 & 1 & 2 & 4 & | & 7,12 0 & 0 & 3 & 2 & | & 4,90 0 & 3 & -3 & -6 & | & 0,66 0 & 2 & -6 & -15 & | & -7,16

Passo 4

Agora, vamos focar na segunda coluna. Já que a segunda linha tem um zero no segundo elemento, vamos trocar a segunda e a terceira linhas para ter um número diferente de zero na posição (2,2):
1 & 1 & 2 & 4 & | & 7,12 0 & 3 & -3 & -6 & | & 0,66 0 & 0 & 3 & 2 & | & 4,90 0 & 2 & -6 & -15 & | & -7,16

Passo 5

Vamos agora eliminar o elemento abaixo do segundo pivô (posição (2,2)):
  • Linha 4 = Linha 4 - 1 & 1 & 2 & 4 & | & 7,12 0 & 3 & -3 & -6 & | & 0,66 0 & 0 & 3 & 2 & | & 4,90 0 & 0 & -4 & -11 & | & -7,54 Linha 2

Passo 6

Agora, vamos trabalhar na terceira coluna. Primeiro, normalizamos a terceira linha dividindo todos os seus elementos por 3:
1 & 1 & 2 & 4 & | & 7,12 0 & 3 & -3 & -6 & | & 0,66 0 & 0 & 1 & 23 & | & 1,63 0 & 0 & -4 & -11 & | & -7,54
Em seguida, eliminamos o elemento abaixo do pivô na terceira coluna:
  • Linha 4 = Linha 4 + 4 \times Linha 3
1 & 1 & 2 & 4 & | & 7,12 0 & 3 & -3 & -6 & | & 0,66 0 & 0 & 1 & 23 & | & 1,63 0 & 0 & 0 & -203 & | & -0,06

Passo 7

Agora, vamos resolver para -203t = -0,06 t = -0,06-203 t = 0,06 times 320 t = 0,1820 t = 0,009 approx 0,01 a partir da quarta linha:

Passo 8

Com z + 23t = 1,63 z + 23(0,01) = 1,63 z + 0,0067 = 1,63 z = 1,63 - 0,0067 z approx 1,62 encontrado, vamos substituir na terceira linha para encontrar :

Passo 9

Agora, substituímos 3y - 3z - 6t = 0,66 3y - 3(1,62) - 6(0,01) = 0,66 3y - 4,86 - 0,06 = 0,66 3y = 0,66 + 4,86 + 0,06 3y = 5,58 y = 5,583 y = 1,86 e na segunda linha para encontrar :

Passo 10

Por fim, substituímos x + y + 2z + 4t = 7,12 x + 1,86 + 2(1,62) + 4(0,01) = 7,12 x + 1,86 + 3,24 + 0,04 = 7,12 x + 5,14 = 7,12 x = 7,12 - 5,14 x = 1,98 , e na primeira linha para encontrar :

Resposta

As soluções aproximadas do sistema são:
x = 1,98, y = 1,86, z = 1,62, t = 0,01

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