Use o método de Jordan para determinar a solução aproximada, com duas casas decimais, dos seguintes sistemas lineares. Quando necessário, use o refinamento de soluções para encontrar as soluções refinadas x1, x2, x3.
(a) 4 x+3 y+2 z+t & =10 x+2 y+3 z+4 t & =5 x-y-z--t & =-1 x+y+z+t & =3

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jordan. Primeiro, vamos entender o que precisamos:
  • Enunciado: Temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas ( x, y, z, t).
  • Matéria: Estamos trabalhando com sistemas lineares e o método de eliminação de Gauss-Jordan (também conhecido como método de Jordan).
  • O que vamos precisar:
    • Formar a matriz aumentada do sistema.
    • Aplicar operações de linha para trazer a matriz à forma escalonada reduzida.
    • Encontrar as soluções aproximadas com duas casas decimais.
    • Se necessário, refinar as soluções para maior precisão.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz aumentada do sistema. Cada linha representa uma equação, e a última coluna é o lado direito das equações. Assim:
4 & 3 & 2 & 1 & | & 10 1 & 2 & 3 & 4 & | & 5 1 & -1 & -1 & -1 & | & -1 1 & 1 & 1 & 1 & | & 3

Passo 3

O próximo passo é usar o método de Gauss-Jordan para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma onde cada linha tem um 1 na diagonal principal e zeros abaixo e acima desse 1. Vamos começar pela primeira coluna.
Operação 1: Vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 4:
R1 div 4 R1
Resultado:
1 & 0.75 & 0.5 & 0.25 & | & 2.5 1 & 2 & 3 & 4 & | & 5 1 & -1 & -1 & -1 & | & -1 1 & 1 & 1 & 1 & | & 3

Passo 4

Agora, queremos zeros abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha das outras linhas.
Operação 2: R2 = R2 - R1, R3 = R3 - R1, R4 = R4 - R1
Resultado:
1 & 0.75 & 0.5 & 0.25 & | & 2.5 0 & 1.25 & 2.5 & 3.75 & | & 2.5 0 & -1.75 & -1.5 & -1.25 & | & -4.5 0 & 0.25 & 0.5 & 0.75 & | & 0.5

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna. Primeiro, tornamos o segundo elemento da segunda coluna igual a 1 dividindo a segunda linha por 1.25.
Operação 3: R2 div 1.25 R2
Resultado:
1 & 0.75 & 0.5 & 0.25 & | & 2.5 0 & 1 & 2 & 3 & | & 2 0 & -1.75 & -1.5 & -1.25 & | & -4.5 0 & 0.25 & 0.5 & 0.75 & | & 0.5

Passo 6

Em seguida, eliminamos os valores acima e abaixo do 1 na segunda coluna.
Operação 4: R1 = R1 - 0.75 times R2, R3 = R3 + 1.75 times R2, R4 = R4 - 0.25 times R2
Resultado:
1 & 0 & -1 & -2 & | & 0.5 0 & 1 & 2 & 3 & | & 2 0 & 0 & 2 & 3.25 & | & -1.0 0 & 0 & 0 & 0.0 & | & 0

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. Tornamos o terceiro elemento igual a 1 dividindo a terceira linha por 2.
Operação 5: R3 div 2 R3
Resultado:
1 & 0 & -1 & -2 & | & 0.5 0 & 1 & 2 & 3 & | & 2 0 & 0 & 1 & 1.625 & | & -0.5 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 8

Eliminamos os valores acima do 1 na terceira coluna.
Operação 6: R1 = R1 + 1 times R3, R2 = R2 - 2 times R3
Resultado:
1 & 0 & 0 & -0.375 & | & 0 0 & 1 & 0 & -0.25 & | & 3 0 & 0 & 1 & 1.625 & | & -0.5 0 & 0 & 0 & 0 & | & 0

Passo 9

Agora, observamos que a quarta coluna não tem um pivô (um 1), o que indica que podemos escolher um valor para t e expressar as outras variáveis em função dele. Vamos chamar t = lambda.
Das equações:
  1. x - 0.375t = 0 x = 0.375t
  2. y - 0.25t = 3 y = 3 + 0.25t
  3. z + 1.625t = -0.5 z = -0.5 - 1.625t

Passo 10

Para uma solução única, normalmente precisaríamos de quatro pivôs, mas como temos uma variável livre ( t), nossa solução será uma família de soluções. No entanto, o enunciado pede uma solução aproximada, então assumiremos t = 0 para simplificação.
Assim:
  • x = 0.375 times 0 = 0
  • y = 3 + 0.25 times 0 = 3
  • z = -0.5 - 1.625 times 0 = -0.5
  • t = 0

Passo 11

Porém, para maior precisão, podemos refinar esses valores. Como não há dependência adicional, nossa solução aproximada é:
x = 0.00, y = 3.00, z = -0.50, t = 0.00

Resposta

A solução aproximada do sistema é:
x = 0.00, y = 3.00, z = -0.50, t = 0.00

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