Use o método de Jordan para determinar a solução aproximada, com duas casas decimais, dos seguintes sistemas lineares. Quando necessário, use o refinamento de soluções para encontrar as soluções refinadas .
(a)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jordan. Primeiro, vamos entender o que precisamos:
Enunciado: Temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas (x, y, z, t).
Matéria: Estamos trabalhando com sistemas lineares e o método de eliminação de Gauss-Jordan (também conhecido como método de Jordan).
O que vamos precisar:
Formar a matriz aumentada do sistema.
Aplicar operações de linha para trazer a matriz à forma escalonada reduzida.
Encontrar as soluções aproximadas com duas casas decimais.
Se necessário, refinar as soluções para maior precisão.
Passo 2
Vamos começar escrevendo a matriz aumentada do sistema. Cada linha representa uma equação, e a última coluna é o lado direito das equações. Assim:
O próximo passo é usar o método de Gauss-Jordan para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma onde cada linha tem um 1 na diagonal principal e zeros abaixo e acima desse 1. Vamos começar pela primeira coluna.
Operação 1: Vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 4:
Agora, observamos que a quarta coluna não tem um pivô (um 1), o que indica que podemos escolher um valor para t e expressar as outras variáveis em função dele. Vamos chamar t = lambda.
Das equações:
x - 0.375t = 0 → x = 0.375t
y - 0.25t = 3 → y = 3 + 0.25t
z + 1.625t = -0.5 → z = -0.5 - 1.625t
Passo 10
Para uma solução única, normalmente precisaríamos de quatro pivôs, mas como temos uma variável livre (t), nossa solução será uma família de soluções. No entanto, o enunciado pede uma solução aproximada, então assumiremos t = 0 para simplificação.
Assim:
x = 0.375 times 0 = 0
y = 3 + 0.25 times 0 = 3
z = -0.5 - 1.625 times 0 = -0.5
t = 0
Passo 11
Porém, para maior precisão, podemos refinar esses valores. Como não há dependência adicional, nossa solução aproximada é: