Use o método de Jordan para determinar a solução aproximada, com duas casas decimais, dos seguintes sistemas lineares. Quando necessário, use o refinamento de soluções para encontrar as soluções refinadas .
(a)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando o método de Jordan. Primeiro, vamos entender o que precisamos:
  • Enunciado: Temos um sistema de quatro equações com quatro incógnitas ( , , , ).
  • Matéria: Estamos trabalhando com sistemas lineares e o método de eliminação de Gauss-Jordan (também conhecido como método de Jordan).
  • O que vamos precisar:
    • Formar a matriz aumentada do sistema.
    • Aplicar operações de linha para trazer a matriz à forma escalonada reduzida.
    • Encontrar as soluções aproximadas com duas casas decimais.
    • Se necessário, refinar as soluções para maior precisão.

Passo 2

Vamos começar escrevendo a matriz aumentada do sistema. Cada linha representa uma equação, e a última coluna é o lado direito das equações. Assim:

Passo 3

O próximo passo é usar o método de Gauss-Jordan para simplificar essa matriz. O objetivo é transformar a matriz em uma forma onde cada linha tem um 1 na diagonal principal e zeros abaixo e acima desse 1. Vamos começar pela primeira coluna.
Operação 1: Vamos tornar o primeiro elemento da primeira coluna igual a 1. Para isso, dividimos a primeira linha por 4:
Resultado:

Passo 4

Agora, queremos zeros abaixo do 1 na primeira coluna. Para isso, subtraímos a primeira linha das outras linhas.
Operação 2: , ,
Resultado:

Passo 5

Vamos agora focar na segunda coluna. Primeiro, tornamos o segundo elemento da segunda coluna igual a 1 dividindo a segunda linha por 1.25.
Operação 3:
Resultado:

Passo 6

Em seguida, eliminamos os valores acima e abaixo do 1 na segunda coluna.
Operação 4: , ,
Resultado:

Passo 7

Agora, vamos para a terceira coluna. Tornamos o terceiro elemento igual a 1 dividindo a terceira linha por 2.
Operação 5:
Resultado:

Passo 8

Eliminamos os valores acima do 1 na terceira coluna.
Operação 6: ,
Resultado:

Passo 9

Agora, observamos que a quarta coluna não tem um pivô (um 1), o que indica que podemos escolher um valor para e expressar as outras variáveis em função dele. Vamos chamar .
Das equações:

Passo 10

Para uma solução única, normalmente precisaríamos de quatro pivôs, mas como temos uma variável livre ( ), nossa solução será uma família de soluções. No entanto, o enunciado pede uma solução aproximada, então assumiremos para simplificação.
Assim:

Passo 11

Porém, para maior precisão, podemos refinar esses valores. Como não há dependência adicional, nossa solução aproximada é:

Resposta

A solução aproximada do sistema é:

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Use o método de Jordan para determinar a solução aproximada, com duas casas decimais, dos seguintes sistemas lineares. Quando necessário, use o refinamento de soluções para encontrar as soluções refinadas .
(b)
Deseja-se estimar . Compare os resultados que seriam obtidos quando aproximamos por
a) um polinômio que interpola nos pontos.
b) , pelo método dos quadrados mínimos.
Use o método de Gaus para determinar a solução aproximada, com duas casas decimais, dos seguintes sistemas lineares. Quando necessário, use o refinamento de soluções para encontrar as soluções refinadas .
(b)
Converta os seguintes números decimais para sua forma binária.
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