Considere o seguinte sistema nas variáveis e :
Com e não nulos. Qual afirmação está correta:
(a) Se , então necessariamente o sistema é possível e determinado.
(b) Se , então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
© Se e , então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
(d) Se e , então necessariamente o sistema é possível e determinado.
(e) Se e , então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.

Passo 1

Entendendo o Enunciado:
Temos um sistema de duas equações lineares com duas variáveis, e :
Onde e são diferentes de zero. Precisamos analisar qual das afirmações (a) a (e) está correta sobre as condições do sistema.
Conteúdo Necessário:
  • Sistemas Lineares: Conjunto de equações que envolvem as mesmas variáveis.
  • Solução de Sistemas: Pode ser única (sistema determinado), infinita (sistema indeterminado) ou nenhuma (sistema impossível).
  • Coeficientes de um Sistema: Valores que multiplicam as variáveis nas equações.
  • Determinante: Usado para determinar a natureza das soluções de um sistema linear.

Passo 2

Analisando a Opção (a):
(a) Se , então necessariamente o sistema é possível e determinado.
Quando , o sistema se torna homogêneo:
Em sistemas homogêneos, sempre há pelo menos a solução trivial ( ). Porém, para que o sistema seja determinado (ou seja, tenha uma única solução), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero.
Determinante ( ) do sistema:
Se , o sistema é determinado. Se , o sistema é indeterminado.
Portanto, nem sempre que o sistema será determinado.
Conclusão: A opção (a) está errada.

Passo 3

Analisando a Opção (b):
(b) Se , então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
Como vimos anteriormente, quando , o sistema é homogêneo. A solução pode ser:
  • Trivial ( ) se o determinante .
  • Infinitas soluções se .
Logo, nem sempre será indeterminado; pode ser determinado se .
Conclusão: A opção (b) está errada.

Passo 4

Analisando a Opção ©:
© Se e , então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
Se e , as duas equações ficam proporcionais:
Para que o sistema seja possível e indeterminado, além de e , também deve-se ter . Caso contrário, se , o sistema será impossível.
Conclusão: A opção © está errada porque depende de para ser indeterminado.

Passo 5

Analisando a Opção (d):
(d) Se e , então necessariamente o sistema é possível e determinado.
Como mostrado anteriormente, se e :
  • Se , o sistema é indeterminado.
  • Se , o sistema é impossível.
Portanto, o sistema não será necessariamente determinado.
Conclusão: A opção (d) está errada.

Passo 6

Analisando a Opção (e):
(e) Se , e , então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
Com , e , as duas equações são exatamente iguais:
Isso significa que uma equação é múltipla da outra, o que leva a infinidade de soluções possíveis (sistema indeterminado).
Conclusão: A opção (e) está correta.

Resposta

A opção (e) está correta.

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