Considere o seguinte sistema nas variáveis
e
:
Com
e
não nulos. Qual afirmação está correta:
(a) Se
, então necessariamente o sistema é possível e determinado.
(b) Se
, então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
© Se
e
, então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
(d) Se
e
, então necessariamente o sistema é possível e determinado.
(e) Se
e
, então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
(a) Se
(b) Se
© Se
(d) Se
(e) Se
Passo 1
Entendendo o Enunciado:
Temos um sistema de duas equações lineares com duas variáveis,
e
:
Onde
e
são diferentes de zero. Precisamos analisar qual das afirmações (a) a (e) está correta sobre as condições do sistema.
Conteúdo Necessário:
- Sistemas Lineares: Conjunto de equações que envolvem as mesmas variáveis.
- Solução de Sistemas: Pode ser única (sistema determinado), infinita (sistema indeterminado) ou nenhuma (sistema impossível).
- Coeficientes de um Sistema: Valores que multiplicam as variáveis nas equações.
- Determinante: Usado para determinar a natureza das soluções de um sistema linear.
Passo 2
Analisando a Opção (a):
(a) Se
, então necessariamente o sistema é possível e determinado.
Quando
, o sistema se torna homogêneo:
Em sistemas homogêneos, sempre há pelo menos a solução trivial (
). Porém, para que o sistema seja determinado (ou seja, tenha uma única solução), o determinante da matriz dos coeficientes deve ser diferente de zero.
Determinante (
) do sistema:
Se
, o sistema é determinado. Se
, o sistema é indeterminado.
Portanto, nem sempre que
o sistema será determinado.
Conclusão: A opção (a) está errada.
Passo 3
Analisando a Opção (b):
(b) Se
, então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
Como vimos anteriormente, quando
, o sistema é homogêneo. A solução pode ser:
- Trivial (
) se o determinante . - Infinitas soluções se
.
Logo, nem sempre será indeterminado; pode ser determinado se
.
Conclusão: A opção (b) está errada.
Passo 4
Analisando a Opção ©:
© Se
e
, então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
Se
e
, as duas equações ficam proporcionais:
Para que o sistema seja possível e indeterminado, além de
e
, também deve-se ter
. Caso contrário, se
, o sistema será impossível.
Conclusão: A opção © está errada porque depende de
para ser indeterminado.
Passo 5
Analisando a Opção (d):
(d) Se
e
, então necessariamente o sistema é possível e determinado.
Como mostrado anteriormente, se
e
:
- Se
, o sistema é indeterminado. - Se
, o sistema é impossível.
Portanto, o sistema não será necessariamente determinado.
Conclusão: A opção (d) está errada.
Passo 6
Analisando a Opção (e):
(e) Se
,
e
, então necessariamente o sistema é possível e indeterminado.
Com
,
e
, as duas equações são exatamente iguais:
Isso significa que uma equação é múltipla da outra, o que leva a infinidade de soluções possíveis (sistema indeterminado).
Conclusão: A opção (e) está correta.
Resposta
A opção (e) está correta.