Chegando no carro, John Watson, rapidamente escutou um barulho vindo do porta-malas deste carro e o abriu rapidamente, porém ao abri-lo foi ativado uma bomba que estava amarrada na irmã de Catherine Elizabeth Middleton. Ao desamarrar a boca da moça, ela disse que a pista estava no porta-luvas do carro. No bilhete dizia que para desarmar a bomba era necessário inserir um numero de 3 algarismos. Este era a solução da seguinte integral com erro menor que 10^-2 :
integral0^1 e^x^3 d x
b) Enquanto Watson encontrava resposta, Sherlock rapidamente verificou que utilizando a regra de 1 / 3 de Simpson em apenas 6 intervalos era possível obter a resposta. Portanto, calcule esta integral utilizando a regra de 1 / 3 de Simpson repetida, com 6 intervalos. Com base nesta resposta, qual era a senha?

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação de suspense envolvendo John Watson e Sherlock Holmes, onde é necessário desarmar uma bomba inserindo um número de 3 algarismos no porta-luvas do carro. A dica para encontrar esse número está na solução de uma integral:
integral0^1 e^x^3 , dx
Além disso, Sherlock descobriu que usando a regra de Simpson 1/3 com 6 intervalos, é possível calcular essa integral com a precisão necessária. Então, vamos resolver essa integral passo a passo usando a regra de Simpson 1/3 para encontrar a senha de 3 dígitos.

Passo 2

Entendendo a Regra de Simpson 1/3:
A regra de Simpson 1/3 é um método numérico para aproximar o valor de uma integral definida. Ela divide o intervalo de integração em um número par de subintervalos igualmente espaçados e aplica uma fórmula específica para cada par de subintervalos. A fórmula geral é:
integrala^b f(x) , dx approx De
Onde:
  • é o número de subintervalos (deve ser par),
  • ,
  • .

Passo 3

Aplicando os Valores à Regra de Simpson 1/3:
Vamos aplicar a regra à nossa integral:
integral0^1 e^x^3 , dx
Aqui:
  • De,
  • ,
  • (como solicitado).
Primeiro, calculamos :

Passo 4

Calculando os Pontos x0 = 0 x1 = 0 + 0.1667 = 0.1667 x2 = 0 + 2 times 0.1667 = 0.3333 x3 = 0 + 3 times 0.1667 = 0.5 x4 = 0 + 4 times 0.1667 = 0.6667 x5 = 0 + 5 times 0.1667 = 0.8333 x6 = 0 + 6 times 0.1667 = 1 :
Vamos encontrar os pontos de avaliação :

Passo 5

Calculando os Valores da Função f(x0) = e^0^3 = e^0 = 1 f(x1) = e^(0.1667)^3 approx e^0.00463 approx 1.00464 f(x2) = e^(0.3333)^3 approx e^0.03704 approx 1.03768 f(x3) = e^(0.5)^3 = e^0.125 approx 1.13315 f(x4) = e^(0.6667)^3 approx e^0.2963 approx 1.3448 f(x5) = e^(0.8333)^3 approx e^0.5787 approx 1.7828 f(x6) = e^1^3 = e^1 approx 2.71828 nos Pontos :
Vamos calcular para cada :

Passo 6

Aplicando a Regra de Simpson 1/3:
Agora, substituímos os valores na fórmula:
integral0^1 e^x^3 , dx approx 0.16673 [1 + 4(1.00464 + 1.13315 + 1.7828) + 2(1.03768 + 1.3448) + 2.71828]
Calculando os somatórios:
4 times (1.00464 + 1.13315 + 1.7828) = 4 times 3.92059 = 15.68236 2 times (1.03768 + 1.3448) = 2 times 2.38248 = 4.76496
Substituindo de volta:
approx 0.16673 times (1 + 15.68236 + 4.76496 + 2.71828) approx 0.16673 times 24.1656 approx 0.05556 times 24.1656 approx 1.3403

Passo 7

Encontrando a Senha:
A integral aproximada usando a regra de Simpson 1/3 com 6 intervalos é aproximadamente 1.3403. Como a senha é um número de 3 algarismos, consideramos os três dígitos significativos:
Senha: 134

Resposta

A senha para desarmar a bomba é 134.

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