Chegando no carro, John Watson, rapidamente escutou um barulho vindo do porta-malas deste carro e o abriu rapidamente, porém ao abri-lo foi ativado uma bomba que estava amarrada na irmã de Catherine Elizabeth Middleton. Ao desamarrar a boca da moça, ela disse que a pista estava no porta-luvas do carro. No bilhete dizia que para desarmar a bomba era necessário inserir um numero de 3 algarismos. Este era a solução da seguinte integral com erro menor que :
b) Enquanto Watson encontrava resposta, Sherlock rapidamente verificou que utilizando a regra de de Simpson em apenas 6 intervalos era possível obter a resposta. Portanto, calcule esta integral utilizando a regra de de Simpson repetida, com 6 intervalos. Com base nesta resposta, qual era a senha?
Passo 1
Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos uma situação de suspense envolvendo John Watson e Sherlock Holmes, onde é necessário desarmar uma bomba inserindo um número de 3 algarismos no porta-luvas do carro. A dica para encontrar esse número está na solução de uma integral:
Além disso, Sherlock descobriu que usando a regra de Simpson 1/3 com 6 intervalos, é possível calcular essa integral com a precisão necessária. Então, vamos resolver essa integral passo a passo usando a regra de Simpson 1/3 para encontrar a senha de 3 dígitos.
Passo 2
Entendendo a Regra de Simpson 1/3:
A regra de Simpson 1/3 é um método numérico para aproximar o valor de uma integral definida. Ela divide o intervalo de integração em um número par de subintervalos igualmente espaçados e aplica uma fórmula específica para cada par de subintervalos. A fórmula geral é:
Onde:
é o número de subintervalos (deve ser par),
,
.
Passo 3
Aplicando os Valores à Regra de Simpson 1/3:
Vamos aplicar a regra à nossa integral:
Aqui:
,
,
(como solicitado).
Primeiro, calculamos :
Passo 4
Calculando os Pontos :
Vamos encontrar os pontos de avaliação :
Passo 5
Calculando os Valores da Função nos Pontos :
Vamos calcular para cada :
Passo 6
Aplicando a Regra de Simpson 1/3:
Agora, substituímos os valores na fórmula:
Calculando os somatórios:
Substituindo de volta:
Passo 7
Encontrando a Senha:
A integral aproximada usando a regra de Simpson 1/3 com 6 intervalos é aproximadamente 1.3403. Como a senha é um número de 3 algarismos, consideramos os três dígitos significativos: