Resolver o sistema linear a seguir usando a fatoração Cholesk:
l x1+x2+3 x3=2 x1+2 x2+x3=4 3 x1+x2+3 x3=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a fatoração de Cholesky. A fatoração de Cholesky é uma técnica que decompõe uma matriz simétrica e positiva definida em duas matrizes triangulares, facilitando a resolução do sistema. Para isso, vamos precisar da matriz dos coeficientes do sistema e do vetor dos termos independentes.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a matriz dos coeficientes A = 1 & 1 & 3 1 & 2 & 1 3 & 1 & 3 , b = 2 4 0 e o vetor do sistema:

Passo 3

Antes de aplicar a fatoração de Cholesky, precisamos garantir que a matriz 1 & 1 1 & 2 seja simétrica e positiva definida. A simetria é clara porque 1 & 1 & 3 1 & 2 & 1 3 & 1 & 3 é igual à sua transposta. Para verificar se é positiva definida, podemos calcular os determinantes principais:
Como o determinante de é negativo, a matriz não é positiva definida. Portanto, a fatoração de Cholesky não pode ser aplicada diretamente a este sistema.

Passo 4

Como a fatoração de Cholesky não é viável para essa matriz, vamos utilizar outro método para resolver o sistema. Vamos optar pelo método de substituição ou eliminação de Gauss. Vamos resolver o sistema passo a passo:
  1. Da segunda equação:
  2. Substituir na primeira e terceira equações:
    • Primeira equação:
    • Terceira equação:

Passo 5

Com , voltamos para :

Passo 6

Agora, substituímos e em :

Resposta

A solução do sistema é:
x1 = -1 x2 = 2.4 x3 = 0.2

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