Considere o sistema linear:
Resolva-o usando Eliminação de Gauss.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Eliminação de Gauss, que é um método para simplificar sistemas lineares transformando as equações em uma forma mais fácil de resolver. O sistema que temos é:
Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez e chegar em soluções para
,
e
.
Passo 2
Primeiro, vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada para facilitar as manipulações:
Passo 3
Nosso objetivo é eliminar
1 & 25 & 2 & | & -125 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 1 & | & 3 das equações 2 e 3. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por
para facilitar:
Passo 4
Agora, adicionamos a primeira linha à segunda para eliminar
-1 + 1 = 0 4 + 25 = 225 2 + 2 = 4 20 - 125 = 885 da segunda equação:
Linha2 = Linha2 + Linha1:
A matriz fica assim:
Passo 5
Agora, vamos eliminar
2 - 2*1 = 0 -3 - 2*25 = -3 - 45 = -195 1 - 2*2 = 1 - 4 = -3 3 - 2*(-125) = 3 + 245 = 395 da terceira equação. Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha1:
A matriz agora fica:
Passo 6
Vamos simplificar as equações 2 e 3. Primeiro, a segunda equação:
Multiplicamos a segunda linha por
0 & 1 & 2022 = 1011 & | & 4 para tornar o coeficiente de
0 & 1 & 1519 & | & -3919 igual a 1:
E para a terceira equação, multiplicamos por
:
Passo 7
Agora, temos duas equações com
(1011) - (1519) = 190 - 165209 = 25209 4 - (-3919) = 4 + 3919 = 11519 . Vamos subtrair a terceira equação da segunda para eliminar
25209 x3 = 11519 :
Então, obtemos:
Passo 8
Resolvendo para
x3 = 11519 times 20925 = 115 times 20919 times 25 = 24035475 = 50.7 :
Multiplicamos ambos os lados por
:
Passo 9
Com
x2 + 1011 times 50.7 = 4 x2 + 46.09 = 4 x2 = 4 - 46.09 = -42.09 encontrado, vamos substituí-lo na segunda equação simplificada para encontrar
:
Passo 10
Agora, substituímos
x1 + 25 times (-42.09) + 2 times 50.7 = -125 x1 - 16.836 + 101.4 = -2.4 x1 + 84.564 = -2.4 x1 = -2.4 - 84.564 = -86.964 e
na primeira equação original para encontrar
:
Resposta
As soluções do sistema são: