Considere o sistema linear:
l 5 x1+2 x2+10 x3=-12 -x1+4 x2+2 x3=20 2 x1-3 x2+x3=3
Resolva-o usando Eliminação de Gauss.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações usando a Eliminação de Gauss, que é um método para simplificar sistemas lineares transformando as equações em uma forma mais fácil de resolver. O sistema que temos é:
l 5 x1+2 x2+10 x3=-12 - x1+4 x2+2 x3=20 2 x1-3 x2+x3=3
Vamos precisar manipular as equações para eliminar uma variável de cada vez e chegar em soluções para , e .

Passo 2

Primeiro, vamos organizar o sistema em forma de matriz aumentada para facilitar as manipulações:
5 & 2 & 10 & | & -12 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 1 & | & 3

Passo 3

Nosso objetivo é eliminar 1 & 25 & 2 & | & -125 -1 & 4 & 2 & | & 20 2 & -3 & 1 & | & 3 das equações 2 e 3. Para isso, vamos multiplicar a primeira linha por para facilitar:

Passo 4

Agora, adicionamos a primeira linha à segunda para eliminar -1 + 1 = 0 4 + 25 = 225 2 + 2 = 4 20 - 125 = 885 da segunda equação:
Linha2 = Linha2 + Linha1:
1 & 25 & 2 & | & -125 0 & 225 & 4 & | & 885 2 & -3 & 1 & | & 3
A matriz fica assim:

Passo 5

Agora, vamos eliminar 2 - 2*1 = 0 -3 - 2*25 = -3 - 45 = -195 1 - 2*2 = 1 - 4 = -3 3 - 2*(-125) = 3 + 245 = 395 da terceira equação. Multiplicamos a primeira linha por 2 e subtraímos da terceira linha:
Linha3 = Linha3 - 2 * Linha1:
1 & 25 & 2 & | & -125 0 & 225 & 4 & | & 885 0 & -195 & -3 & | & 395
A matriz agora fica:

Passo 6

Vamos simplificar as equações 2 e 3. Primeiro, a segunda equação:
Multiplicamos a segunda linha por 0 & 1 & 2022 = 1011 & | & 4 para tornar o coeficiente de 0 & 1 & 1519 & | & -3919 igual a 1:
E para a terceira equação, multiplicamos por :

Passo 7

Agora, temos duas equações com (1011) - (1519) = 190 - 165209 = 25209 4 - (-3919) = 4 + 3919 = 11519 . Vamos subtrair a terceira equação da segunda para eliminar 25209 x3 = 11519 :
Então, obtemos:

Passo 8

Resolvendo para x3 = 11519 times 20925 = 115 times 20919 times 25 = 24035475 = 50.7 :
Multiplicamos ambos os lados por :

Passo 9

Com x2 + 1011 times 50.7 = 4 x2 + 46.09 = 4 x2 = 4 - 46.09 = -42.09 encontrado, vamos substituí-lo na segunda equação simplificada para encontrar :

Passo 10

Agora, substituímos x1 + 25 times (-42.09) + 2 times 50.7 = -125 x1 - 16.836 + 101.4 = -2.4 x1 + 84.564 = -2.4 x1 = -2.4 - 84.564 = -86.964 e na primeira equação original para encontrar :

Resposta

As soluções do sistema são:
x1 = -86.964, x2 = -42.09, x3 = 50.7

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