Chegando no carro, John Watson, rapidamente escutou um barulho vindo do porta-malas deste carro e o abriu rapidamente, porém ao abri-lo foi ativado uma bomba que estava amarrada na irmã de Catherine Elizabeth Middleton. Ao desamarrar a boca da moça, ela disse que a pista estava no porta-luvas do carro. No bilhete dizia que para desarmar a bomba era necessário inserir um numero de 3 algarismos. Este era a solução da seguinte integral com erro menor que
:
a) Sherlock logo percebeu que essa integral não possui solução analítica, pediu a John Watson verificar quantos intervalos seriam necessários para resolve-la, com erro menor
, utilizando a regra do trapézio. Quantos intervalos ele obteve?
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você tem um problema envolvendo uma integral definida de
de 0 a 1, e precisa usar a Regra do Trapézio para aproximar o valor dessa integral com um erro menor que
(ou seja, 0,01). Nosso objetivo é descobrir quantos intervalos (
) são necessários para que essa aproximação seja precisa o suficiente.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é a Regra do Trapézio. É um método numérico para aproximar o valor de integrais definidas. Ele divide a área sob a curva em trapézios em vez de retângulos, o que geralmente dá uma aproximação mais precisa.
A fórmula geral para a Regra do Trapézio com
intervalos é:
Onde:
-
-
e são os limites da integral.
Passo 3
Para garantir que o erro da aproximação seja menor que
, usamos a fórmula do erro para a Regra do Trapézio:
Aqui:
-
é o erro da aproximação. -
é a segunda derivada da função . -
é o valor máximo da segunda derivada no intervalo.
Nosso objetivo é que esse erro seja menor que 0,01:
Onde
.
Passo 4
Vamos calcular
para a função
.
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Então:
Passo 5
Queremos encontrar o valor máximo de
no intervalo [0,1]. Observando a expressão:
Sabemos que tanto
,
quanto
são funções positivas e crescentes no intervalo [0,1]. Portanto, o máximo ocorre no ponto
:
Passo 6
Agora, substituímos
,
,
na fórmula do erro:
Simplificando:
Calculando o valor:
Sabendo que
:
Então:
Passo 7
Para encontrar
, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como
precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:
Resposta
Para garantir que o erro da Regra do Trapézio seja menor que
, são necessários 19 intervalos.