Chegando no carro, John Watson, rapidamente escutou um barulho vindo do porta-malas deste carro e o abriu rapidamente, porém ao abri-lo foi ativado uma bomba que estava amarrada na irmã de Catherine Elizabeth Middleton. Ao desamarrar a boca da moça, ela disse que a pista estava no porta-luvas do carro. No bilhete dizia que para desarmar a bomba era necessário inserir um numero de 3 algarismos. Este era a solução da seguinte integral com erro menor que 10^-2 :
integral0^1 e^x^3 d x
a) Sherlock logo percebeu que essa integral não possui solução analítica, pediu a John Watson verificar quantos intervalos seriam necessários para resolve-la, com erro menor 10^-2, utilizando a regra do trapézio. Quantos intervalos ele obteve?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema envolvendo uma integral definida de de 0 a 1, e precisa usar a Regra do Trapézio para aproximar o valor dessa integral com um erro menor que (ou seja, 0,01). Nosso objetivo é descobrir quantos intervalos ( ) são necessários para que essa aproximação seja precisa o suficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra do Trapézio. É um método numérico para aproximar o valor de integrais definidas. Ele divide a área sob a curva em trapézios em vez de retângulos, o que geralmente dá uma aproximação mais precisa.
A fórmula geral para a Regra do Trapézio com Trapézio = De intervalos é:
é
Onde:
  • e são os limites da integral.

Passo 3

Para garantir que o erro da aproximação seja menor que |E| <= (b - a)^312n^2 cdot maxx in [a,b] |f''(x)| , usamos a fórmula do erro para a Regra do Trapézio:
(1 - 0)^312n^2 cdot M < 0.01
Aqui:
  • é o erro da aproximação.
  • é a segunda derivada da função .
  • é o valor máximo da segunda derivada no intervalo.
Nosso objetivo é que esse erro seja menor que 0,01:
Onde .

Passo 4

Vamos calcular f'(x) = ddx e^x^3 = 3x^2 e^x^3 para a função f''(x) = ddx (3x^2 e^x^3) = 6x e^x^3 + 9x^4 e^x^3 = e^x^3 (6x + 9x^4) .
Primeiro, a primeira derivada:
f''(x) = e^x^3 (6x + 9x^4)
Agora, a segunda derivada:
Então:

Passo 5

Queremos encontrar o valor máximo de f''(x) = e^x^3 (6x + 9x^4) no intervalo [0,1]. Observando a expressão:
M = f''(1) = e^1^3 (6 cdot 1 + 9 cdot 1^4) = e (6 + 9) = 15e
Sabemos que tanto , quanto são funções positivas e crescentes no intervalo [0,1]. Portanto, o máximo ocorre no ponto :

Passo 6

Agora, substituímos 1^312n^2 cdot 15e < 0.01 , 15e12n^2 < 0.01 , 15e0.12 < n^2 na fórmula do erro:
n^2 > 15e0.12
Simplificando:
15 times 2.7180.12 = 40.770.12 approx 339.75
n^2 > 339.75
Calculando o valor:
Sabendo que :
Então:

Passo 7

Para encontrar n > raiz339.75 approx 18.43 , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
n = 19
Como precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

Para garantir que o erro da Regra do Trapézio seja menor que , são necessários 19 intervalos.

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