Chegando no carro, John Watson, rapidamente escutou um barulho vindo do porta-malas deste carro e o abriu rapidamente, porém ao abri-lo foi ativado uma bomba que estava amarrada na irmã de Catherine Elizabeth Middleton. Ao desamarrar a boca da moça, ela disse que a pista estava no porta-luvas do carro. No bilhete dizia que para desarmar a bomba era necessário inserir um numero de 3 algarismos. Este era a solução da seguinte integral com erro menor que :
a) Sherlock logo percebeu que essa integral não possui solução analítica, pediu a John Watson verificar quantos intervalos seriam necessários para resolve-la, com erro menor , utilizando a regra do trapézio. Quantos intervalos ele obteve?

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem um problema envolvendo uma integral definida de de 0 a 1, e precisa usar a Regra do Trapézio para aproximar o valor dessa integral com um erro menor que (ou seja, 0,01). Nosso objetivo é descobrir quantos intervalos ( ) são necessários para que essa aproximação seja precisa o suficiente.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra do Trapézio. É um método numérico para aproximar o valor de integrais definidas. Ele divide a área sob a curva em trapézios em vez de retângulos, o que geralmente dá uma aproximação mais precisa.
A fórmula geral para a Regra do Trapézio com intervalos é:
é
Onde:
  • e são os limites da integral.

Passo 3

Para garantir que o erro da aproximação seja menor que , usamos a fórmula do erro para a Regra do Trapézio:
Aqui:
  • é o erro da aproximação.
  • é a segunda derivada da função .
  • é o valor máximo da segunda derivada no intervalo.
Nosso objetivo é que esse erro seja menor que 0,01:
Onde .

Passo 4

Vamos calcular para a função .
Primeiro, a primeira derivada:
Agora, a segunda derivada:
Então:

Passo 5

Queremos encontrar o valor máximo de no intervalo [0,1]. Observando a expressão:
Sabemos que tanto , quanto são funções positivas e crescentes no intervalo [0,1]. Portanto, o máximo ocorre no ponto :

Passo 6

Agora, substituímos , , na fórmula do erro:
Simplificando:
Calculando o valor:
Sabendo que :
Então:

Passo 7

Para encontrar , tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
Como precisa ser um número inteiro, arredondamos para cima:

Resposta

Para garantir que o erro da Regra do Trapézio seja menor que , são necessários 19 intervalos.

Exercícios relacionados

Chegando na casa indicada, Sherlock encontrou o seu fiel parceiro, John Watson, amarrado e segurando um bilhete nas mãos. No bilhete dizia que no estacionamento onde foi encontrado a primeira pista teria um carro cujo o número da placa é dado pelo valor de uma parábola que aproxime a função no intervalo em
b) Sabendo que a placa possui 4 números, utilize o polinômio quadrático obtido e descubra o valor tomando e arredondando para 4 dígitos significativos.
Na engenharia financeira é comum se trabalhar como modelos em tempo contínuo, tal prática advém das características matemáticas vantajosas de se substituir expressões por . Apesar de aparentar que ocorrer um aumento na complexidade dos cálculos envolvidos, a realidade informa que o aproveitamento destas propriedades matemáticas é facilmente compensada em diversas situações.
a) Você como um estudante de Cálculo Numérico deve calcular o retorno total de um investimento (integração de ) considerando , considere . Utilize a regra do trapézio fechada para aproximar o valor da integral.
Sabe-se que
Utilizando 8 casas decimais e a Quadratura de Gauss, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
a) 2 pontos
Sherlock Holmes é um renomado detetive de Londres que possui uma capacidade inigualável de dedução. Ele está investigando as pistas sobre o desaparecimento do anel de casamento de Elizabeth II. Ao seguir as pistas ele chegou em um estacionamento próximo ao palácio de Buckingham e encontrou, em um papel, anotações da hora e quantos carros estavam estacionados.
Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
Além destas anotações, também estava escrito que o número da casa onde estará a próxima pista era o número de carros na metade da hora entre 10 h e 11h.
a) Utilizando sua incrível capacidade dedução ele pôde perceber que estes pontos formavam uma função exponencial na forma de . Obtenha uma aproximação, através do método dos mínimos quadrados, para estimar os valores de e desta função exponencial.