Chegando na casa indicada, Sherlock encontrou o seu fiel parceiro, John Watson, amarrado e segurando um bilhete nas mãos. No bilhete dizia que no estacionamento onde foi encontrado a primeira pista teria um carro cujo o número da placa é dado pelo valor de uma parábola que aproxime a função no intervalo em
b) Sabendo que a placa possui 4 números, utilize o polinômio quadrático obtido e descubra o valor tomando e arredondando para 4 dígitos significativos.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função definida no intervalo . Sherlock encontrou um bilhete que nos diz que o número da placa de um carro está relacionado ao valor de uma parábola que aproxima essa função no ponto . Nosso objetivo é encontrar esse valor usando um polinômio quadrático e arredondá-lo para quatro dígitos significativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “aproximar uma função por uma parábola”. Basicamente, estamos procurando um polinômio quadrático que fique bem próximo da função no intervalo dado. Um polinômio quadrático tem a forma geral:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes , e para que seja a melhor aproximação de no intervalo .

Passo 3

Uma maneira comum de encontrar essa aproximação é usando a expansão em série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto nos dá um polinômio que aproxima a função perto desse ponto. Para um polinômio quadrático, vamos considerar termos até a segunda derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas de :
Agora, a fórmula geral do polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de é:
Vamos calcular cada termo:
Então, substituindo na fórmula:
Isso significa que, pelo método da série de Taylor, o polinômio quadrático que aproxima em torno de é simplesmente . Mas isso não é muito útil para nossa aproximação em .

Passo 4

Dado que a abordagem da série de Taylor não nos fornece uma aproximação útil, vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar o polinômio quadrático que melhor aproxima no intervalo .
Queremos encontrar os coeficientes , e que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre e no intervalo.
Para simplificar, devido à simetria da função em torno de , podemos observar que os coeficientes serão zero (pois a função é par). Então, nosso polinômio fica:
Agora, precisamos determinar e que melhor aproximam . Para isso, igualamos os valores médios de e e também dos seus quadrados no intervalo .
Calculando as integrais necessárias:
  1. Média de :
  1. Média de :
Igualando as médias:
  1. Média de :
  1. Média de :
Igualando as médias:
Substituindo :
Então, nosso polinômio quadrático de aproximação é:

Passo 5

Agora que temos o polinômio quadrático , vamos calcular o valor em :
Arredondando para quatro dígitos significativos:

Resposta

O valor de arredondado para quatro dígitos significativos é 0,2952.

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