Chegando na casa indicada, Sherlock encontrou o seu fiel parceiro, John Watson, amarrado e segurando um bilhete nas mãos. No bilhete dizia que no estacionamento onde foi encontrado a primeira pista teria um carro cujo o número da placa é dado pelo valor de uma parábola que aproxime a função f(x)=x^4 no intervalo [-1,1] em x=0,5
b) Sabendo que a placa possui 4 números, utilize o polinômio quadrático obtido e descubra o valor P2(x) tomando x=0,5 e arredondando para 4 dígitos significativos.

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função definida no intervalo . Sherlock encontrou um bilhete que nos diz que o número da placa de um carro está relacionado ao valor de uma parábola que aproxima essa função no ponto . Nosso objetivo é encontrar esse valor usando um polinômio quadrático e arredondá-lo para quatro dígitos significativos.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender o que significa “aproximar uma função por uma parábola”. Basicamente, estamos procurando um polinômio quadrático que fique bem próximo da função P2(x) = a + b x + c x^2 no intervalo dado. Um polinômio quadrático tem a forma geral:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes , e para que seja a melhor aproximação de no intervalo .

Passo 3

Uma maneira comum de encontrar essa aproximação é usando a expansão em série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto nos dá um polinômio que aproxima a função perto desse ponto. Para um polinômio quadrático, vamos considerar termos até a segunda derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas de P2(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)2x^2 :
  • P2(x) = 0 + 0 cdot x + 02x^2 = 0
Agora, a fórmula geral do polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de é:
Vamos calcular cada termo:
Então, substituindo na fórmula:
Isso significa que, pelo método da série de Taylor, o polinômio quadrático que aproxima em torno de é simplesmente . Mas isso não é muito útil para nossa aproximação em .

Passo 4

Dado que a abordagem da série de Taylor não nos fornece uma aproximação útil, vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar o polinômio quadrático que melhor aproxima P2(x) = a + c x^2 no intervalo 12 integral-1^1 x^4 dx = 12 [ x^55 ]-1^1 = 12 ( 15 - ( -15 ) ) = 15 .
Queremos encontrar os coeficientes 12 integral-1^1 (a + c x^2) dx = 12 [ a x + c x^33 ]-1^1 = 12 ( 2a ) = a , a = 15 e 12 integral-1^1 x^6 dx = 12 [ x^77 ]-1^1 = 12 ( 17 - ( -17 ) ) = 17 que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre 12 integral-1^1 (a + c x^2) x^2 dx = 12 integral-1^1 (a x^2 + c x^4) dx = 12 ( a cdot 23 + c cdot 25 ) = a3 + c5 e a3 + c5 = 17 no intervalo.
Para simplificar, devido à simetria da função 1/53 + c5 = 17 em torno de 115 + c5 = 17 , podemos observar que os coeficientes c5 = 17 - 115 serão zero (pois a função é par). Então, nosso polinômio fica:
c5 = 15 - 7105 = 8105
Agora, precisamos determinar c = 40105 = 821 e P2(x) = 15 + 821 x^2 que melhor aproximam . Para isso, igualamos os valores médios de e e também dos seus quadrados no intervalo .
Calculando as integrais necessárias:
  1. Média de :
  1. Média de :
Igualando as médias:
  1. Média de :
  1. Média de :
Igualando as médias:
Substituindo :
Então, nosso polinômio quadrático de aproximação é:

Passo 5

Agora que temos o polinômio quadrático P2(0,5) = 15 + 821 (0,5)^2 , vamos calcular o valor em P2(0,5) = 0,2 + 821 times 0,25 :
P2(0,5) = 0,2 + 221
P2(0,5) approx 0,2 + 0,095238
P2(0,5) approx 0,295238
P2(0,5) approx 0,2952
Arredondando para quatro dígitos significativos:

Resposta

O valor de arredondado para quatro dígitos significativos é 0,2952.

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