Chegando na casa indicada, Sherlock encontrou o seu fiel parceiro, John Watson, amarrado e segurando um bilhete nas mãos. No bilhete dizia que no estacionamento onde foi encontrado a primeira pista teria um carro cujo o número da placa é dado pelo valor de uma parábola que aproxime a função
no intervalo
em
b) Sabendo que a placa possui 4 números, utilize o polinômio quadrático obtido e descubra o valor
tomando
e arredondando para 4 dígitos significativos.
b) Sabendo que a placa possui 4 números, utilize o polinômio quadrático obtido e descubra o valor
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que a questão está nos pedindo. Temos uma função
definida no intervalo
. Sherlock encontrou um bilhete que nos diz que o número da placa de um carro está relacionado ao valor de uma parábola que aproxima essa função no ponto
. Nosso objetivo é encontrar esse valor usando um polinômio quadrático
e arredondá-lo para quatro dígitos significativos.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender o que significa “aproximar uma função por uma parábola”. Basicamente, estamos procurando um polinômio quadrático que fique bem próximo da função
no intervalo dado. Um polinômio quadrático tem a forma geral:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes
,
e
para que
seja a melhor aproximação de
no intervalo
.
Passo 3
Uma maneira comum de encontrar essa aproximação é usando a expansão em série de Taylor. A série de Taylor de uma função em torno de um ponto nos dá um polinômio que aproxima a função perto desse ponto. Para um polinômio quadrático, vamos considerar termos até a segunda derivada.
Primeiro, calculamos as derivadas de
:
Agora, a fórmula geral do polinômio de Taylor de segunda ordem em torno de
é:
Vamos calcular cada termo:
Então, substituindo na fórmula:
Isso significa que, pelo método da série de Taylor, o polinômio quadrático que aproxima
em torno de
é simplesmente
. Mas isso não é muito útil para nossa aproximação em
.
Passo 4
Dado que a abordagem da série de Taylor não nos fornece uma aproximação útil, vamos usar o método dos mínimos quadrados para encontrar o polinômio quadrático que melhor aproxima
no intervalo
.
Queremos encontrar os coeficientes
,
e
que minimizam a soma dos quadrados das diferenças entre
e
no intervalo.
Para simplificar, devido à simetria da função
em torno de
, podemos observar que os coeficientes
serão zero (pois a função é par). Então, nosso polinômio fica:
Agora, precisamos determinar
e
que melhor aproximam
. Para isso, igualamos os valores médios de
e
e também dos seus quadrados no intervalo
.
Calculando as integrais necessárias:
- Média de
:
- Média de
:
Igualando as médias:
- Média de
:
- Média de
:
Igualando as médias:
Substituindo
:
Então, nosso polinômio quadrático de aproximação é:
Passo 5
Agora que temos o polinômio quadrático
, vamos calcular o valor em
:
Arredondando para quatro dígitos significativos:
Resposta
O valor de
arredondado para quatro dígitos significativos é 0,2952.