Na engenharia financeira é comum se trabalhar como modelos em tempo contínuo, tal prática advém das características matemáticas vantajosas de se substituir expressões por . Apesar de aparentar que ocorrer um aumento na complexidade dos cálculos envolvidos, a realidade informa que o aproveitamento destas propriedades matemáticas é facilmente compensada em diversas situações.
a) Você como um estudante de Cálculo Numérico deve calcular o retorno total de um investimento (integração de ) considerando , considere . Utilize a regra do trapézio fechada para aproximar o valor da integral.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular o retorno total de um investimento usando a integração de no intervalo , onde . Para isso, vamos usar a regra do trapézio fechada, que é uma técnica de Cálculo Numérico para aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do trapézio. Ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em segmentos e formando trapézios com a função nesses pontos. A fórmula básica para um único trapézio é:
Aqui, , , e .

Passo 3

Vamos calcular os valores de e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da regra do trapézio:

Resposta

O retorno total aproximado do investimento, usando a regra do trapézio fechada, é aproximadamente .

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Chegando na casa indicada, Sherlock encontrou o seu fiel parceiro, John Watson, amarrado e segurando um bilhete nas mãos. No bilhete dizia que no estacionamento onde foi encontrado a primeira pista teria um carro cujo o número da placa é dado pelo valor de uma parábola que aproxime a função no intervalo em
a) Para agilizar os cálculos Sherlock decidiu aproximar a função por uma parábola , através do método dos mínimos quadrados, mas utilizando as bases ortogonais de Legendre e . Qual foi a aproximação por mínimos quadrados que Sherlock obteve?
Na engenharia financeira é comum se trabalhar como modelos em tempo contínuo, tal prática advém das características matemáticas vantajosas de se substituir expressões por . Apesar de aparentar que ocorrer um aumento na complexidade dos cálculos envolvidos, a realidade informa que o aproveitamento destas propriedades matemáticas é facilmente compensada em diversas situações.
b) Repita a integração utilizando 6 pontos (ou 5 intervalos) pela regra do trapézio.
Chegando na casa indicada, Sherlock encontrou o seu fiel parceiro, John Watson, amarrado e segurando um bilhete nas mãos. No bilhete dizia que no estacionamento onde foi encontrado a primeira pista teria um carro cujo o número da placa é dado pelo valor de uma parábola que aproxime a função no intervalo em
b) Sabendo que a placa possui 4 números, utilize o polinômio quadrático obtido e descubra o valor tomando e arredondando para 4 dígitos significativos.
Chegando no carro, John Watson, rapidamente escutou um barulho vindo do porta-malas deste carro e o abriu rapidamente, porém ao abri-lo foi ativado uma bomba que estava amarrada na irmã de Catherine Elizabeth Middleton. Ao desamarrar a boca da moça, ela disse que a pista estava no porta-luvas do carro. No bilhete dizia que para desarmar a bomba era necessário inserir um numero de 3 algarismos. Este era a solução da seguinte integral com erro menor que :
a) Sherlock logo percebeu que essa integral não possui solução analítica, pediu a John Watson verificar quantos intervalos seriam necessários para resolve-la, com erro menor , utilizando a regra do trapézio. Quantos intervalos ele obteve?