Na engenharia financeira é comum se trabalhar como modelos em tempo contínuo, tal prática advém das características matemáticas vantajosas de se substituir expressões 1(1+i)^t por e^r t. Apesar de aparentar que ocorrer um aumento na complexidade dos cálculos envolvidos, a realidade informa que o aproveitamento destas propriedades matemáticas é facilmente compensada em diversas situações.
a) Você como um estudante de Cálculo Numérico deve calcular o retorno total de um investimento (integração de e^r t ) considerando t in[0,1], considere r=0,5. Utilize a regra do trapézio fechada para aproximar o valor da integral.

Passo 1

Então, vamos lá! A questão pede para calcular o retorno total de um investimento usando a integração de e^rt no intervalo t in [0,1], onde r = 0,5. Para isso, vamos usar a regra do trapézio fechada, que é uma técnica de Cálculo Numérico para aproximar integrais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona a regra do trapézio. Ela aproxima a área sob a curva dividindo o intervalo em segmentos e formando trapézios com a função nesses pontos. A fórmula básica para um único trapézio é:
Integral approx b - a2 [ f(a) + f(b) ]
Aqui, a = 0, b = 1, e f(t) = e^0,5 t.

Passo 3

Vamos calcular os valores de f(a) e f(b):
f(0) = e^0,5 times 0 = e^0 = 1
f(1) = e^0,5 times 1 = e^0,5 approx 1,6487

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da regra do trapézio:
Integral approx 1 - 02 [ 1 + 1,6487 ] = 12 times 2,6487 approx 1,32435

Resposta

O retorno total aproximado do investimento, usando a regra do trapézio fechada, é aproximadamente 1,32435.

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