Utilizando 8 casas decimais e a Quadratura de Gauss, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
a) 2 pontos
Passo 1
Vamos resolver o exercício que nos pede para aproximar o valor de utilizando a Quadratura de Gauss com 2 pontos. A questão envolve cálculo de integrais e métodos numéricos para aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Quadratura de Gauss, identificar os pontos e pesos para 2 pontos, e aplicar esses elementos na integral dada.
Passo 2
A Quadratura de Gauss é um método eficiente para aproximar integrais definidas, especialmente quando conhecemos os pontos e pesos ideais para a função que estamos integrando. No caso da Quadratura de Gauss com 2 pontos, os pontos () e pesos () são tabelados para o intervalo padrão de .
Para 2 pontos, temos:
Passo 3
Como nossa integral está no intervalo , precisamos fazer uma mudança de variável para transformar esse intervalo no padrão . Usamos a substituição linear:
onde , . Então:
O diferencial fica:
Passo 4
Agora, substituímos na integral original:
Simplificando:
Passo 5
Aplicamos a Quadratura de Gauss com os pontos e pesos definidos:
Aqui, . Então:
Substituindo os valores de e :
Então:
Passo 6
Calculamos cada termo separadamente:
Então:
Somando os dois valores:
Passo 7
Sabemos que o valor real de é aproximadamente . Agora, vamos calcular o erro relativo:
Substituindo:
Resposta
A aproximação para utilizando a Quadratura de Gauss com 2 pontos é e o erro relativo cometido é aproximadamente .