Sabe-se que
ln 2=integral1^2 1x d x
Utilizando 8 casas decimais e a Quadratura de Gauss, calcule uma aproximação para ln 2, e o erro relativo cometido, com
a) 2 pontos

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para aproximar o valor de ln 2 utilizando a Quadratura de Gauss com 2 pontos. A questão envolve cálculo de integrais e métodos numéricos para aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Quadratura de Gauss, identificar os pontos e pesos para 2 pontos, e aplicar esses elementos na integral dada.

Passo 2

A Quadratura de Gauss é um método eficiente para aproximar integrais definidas, especialmente quando conhecemos os pontos e pesos ideais para a função que estamos integrando. No caso da Quadratura de Gauss com 2 pontos, os pontos ( xi) e pesos ( wi) são tabelados para o intervalo padrão de [-1, 1].
Para 2 pontos, temos:
x1 = -raiz1/31, x2 = raiz1/31
w1 = w2 = 1

Passo 3

Como nossa integral está no intervalo [1, 2], precisamos fazer uma mudança de variável para transformar esse intervalo no padrão [-1, 1]. Usamos a substituição linear:
x = b - a2 t + a + b2
onde a = 1, b = 2. Então:
x = 2 - 12 t + 1 + 22 = 12 t + 32
O diferencial dx fica:
dx = 12 dt

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
ln 2 = integral1^2 1x dx = integral-1^1 112 t + 32 cdot 12 dt
Simplificando:
ln 2 = 12 integral-1^1 112(t) + 32 dt = 12 integral-1^1 2t + 3 dt = integral-1^1 1t + 3 dt

Passo 5

Aplicamos a Quadratura de Gauss com os pontos e pesos definidos:
integral-1^1 f(t) dt approx w1 f(x1) + w2 f(x2)
Aqui, f(t) = 1t + 3. Então:
ln 2 approx f(x1) + f(x2) = 1x1 + 3 + 1x2 + 3
Substituindo os valores de x1 e x2:
x1 = -raiz13, x2 = raiz13
Então:
ln 2 approx 1-raiz13 + 3 + 1raiz13 + 3

Passo 6

Calculamos cada termo separadamente:
raiz13 = 1raiz3 approx 0.57735027
Então:
1-0.57735027 + 3 = 12.42264973 approx 0.41221475
10.57735027 + 3 = 13.57735027 approx 0.27950850
Somando os dois valores:
ln 2 approx 0.41221475 + 0.27950850 = 0.69172325

Passo 7

Sabemos que o valor real de ln 2 é aproximadamente 0.69314718. Agora, vamos calcular o erro relativo:
Erro Relativo = | Aproximação - Valor RealValor Real | çã
Substituindo:
Erro Relativo = | 0.69172325 - 0.693147180.69314718 | approx | -0.001423930.69314718 | approx 0.0020563 ou 0.20563%

Resposta

A aproximação para ln 2 utilizando a Quadratura de Gauss com 2 pontos é 0.69172325 e o erro relativo cometido é aproximadamente 0.20563%.

Exercícios relacionados