Sabe-se que
Utilizando 8 casas decimais e a Quadratura de Gauss, calcule uma aproximação para , e o erro relativo cometido, com
a) 2 pontos

Passo 1

Vamos resolver o exercício que nos pede para aproximar o valor de utilizando a Quadratura de Gauss com 2 pontos. A questão envolve cálculo de integrais e métodos numéricos para aproximação. Para isso, vamos precisar entender como funciona a Quadratura de Gauss, identificar os pontos e pesos para 2 pontos, e aplicar esses elementos na integral dada.

Passo 2

A Quadratura de Gauss é um método eficiente para aproximar integrais definidas, especialmente quando conhecemos os pontos e pesos ideais para a função que estamos integrando. No caso da Quadratura de Gauss com 2 pontos, os pontos ( ) e pesos ( ) são tabelados para o intervalo padrão de .
Para 2 pontos, temos:

Passo 3

Como nossa integral está no intervalo , precisamos fazer uma mudança de variável para transformar esse intervalo no padrão . Usamos a substituição linear:
onde , . Então:
O diferencial fica:

Passo 4

Agora, substituímos na integral original:
Simplificando:

Passo 5

Aplicamos a Quadratura de Gauss com os pontos e pesos definidos:
Aqui, . Então:
Substituindo os valores de e :
Então:

Passo 6

Calculamos cada termo separadamente:
Então:
Somando os dois valores:

Passo 7

Sabemos que o valor real de é aproximadamente . Agora, vamos calcular o erro relativo:
çã
Substituindo:

Resposta

A aproximação para utilizando a Quadratura de Gauss com 2 pontos é e o erro relativo cometido é aproximadamente .

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Horário (h) 8 9 10 11
Carros 11 18 30 49
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