Um circuito fechado de capacitor (C=0,01 F), indutor (L=1,25 H) e um amperímetro tem resistência total R=0,25 Omega. No momento t=0 o capacitor possui carga 0,01 C e corrente no circuito é zero. Que corrente vai medir o amperímetro no momento t=1 s ?

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um circuito fechado que inclui um capacitor, um indutor e um resistor. Precisamos descobrir qual é a corrente que o amperímetro vai medir no momento segundo. Para isso, vamos usar conceitos de circuitos RLC, que envolvem resistência ®, indutância (L) e capacitância ©. Vamos precisar entender como esses componentes interagem para determinar a corrente no circuito.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os valores que temos:
  • Capacitância,
  • Indutância,
  • Resistência total,
  • Carga inicial do capacitor,
  • Corrente inicial,
  • Tempo que queremos encontrar a corrente,

Passo 3

Em um circuito RLC série, a corrente L dIdt + R I + 1C integral I , dt = 0 pode ser descrita pela seguinte equação diferencial de segunda ordem:
L d^2Qdt^2 + R dQdt + QC = 0
Mas para facilitar, vamos reescrever essa equação em termos de uma equação diferencial homogênea:
Aqui, é a carga no capacitor, e sabemos que .

Passo 4

Vamos simplificar a equação usando L dIdt + R I + QC = 0 . Substituindo isso na equação diferencial, temos:
I(t) = Q0raizL C - (R^2 C4) e^-R t2L sin(omega t)
Mas como omega = raiz1L C - (R2L)^2 , precisamos de uma forma mais direta de resolver para . Para isso, podemos usar a forma padrão da solução para circuitos RLC série:
onde:

Passo 5

Vamos calcular os parâmetros necessários:
Primeiro, calculamos omega = raiz1L C - (R2L)^2 = raiz11,25 times 0,01 - (0,252 times 1,25)^2 :
1L C = 11,25 times 0,01 = 80 , rad/s^2
Calculando cada parte:
(R2L)^2 = (0,252 times 1,25)^2 = (0,252,5)^2 = (0,1)^2 = 0,01 , rad/s^2
omega = raiz80 - 0,01 approx raiz79,99 approx 8,94 , rad/s

Passo 6

Agora, substituímos I(t) = Q0raizL C - (R^2 C4) e^-R t2L sin(omega t) e os valores conhecidos na equação da corrente:
R2L = 0,252 times 1,25 = 0,1 , s^-1
Calculando cada parte:
e^-R t2L = e^-0,1 times 1 = e^-0,1 approx 0,9048
sin(omega t) = sin(8,94 times 1) approx sin(8,94) approx 0,423
Q0raizL C - (R^2 C4) = 0,01raiz1,25 times 0,01 - (0,25^2 times 0,014) = 0,01raiz0,0125 - 0,00015625 approx 0,010,1112 approx 0,09 , A

Passo 7

Agora, multiplicamos todos os componentes para encontrar I(1) = 0,09 times 0,9048 times 0,423 approx 0,0343 , A :

Resposta

A corrente medida pelo amperímetro no momento é aproximadamente .

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