Dada uma equação não linear
. Ache a solução geral da equação.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não linear
. Aqui, temos uma segunda derivada de
em relação a
. Para resolver isso, vamos usar técnicas de redução de ordem e separação de variáveis. Ou seja, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar o problema fazendo uma substituição. Vamos chamar
, que é a primeira derivada de
em relação a
. Com isso,
, onde
é a derivada de
em relação a
.
Passo 3
Substituindo na equação original, fica:
Agora, temos uma relação entre
, sua derivada
e a função
.
Passo 4
Como
, podemos escrever
como:
Isso nos permite reescrever a equação em termos de
e
.
Passo 5
Substituindo na equação, temos:
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por
(desde que
):
Agora, a equação está mais simples e envolve apenas
e
.
Passo 6
Vamos integrar ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é uma constante de integração.
Passo 7
Lembrando que
, substituímos de volta:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver separando as variáveis.
Passo 8
Vamos reescrever a equação para separar
e
:
Agora, integraremos ambos os lados.
Passo 9
Integrando:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida completando o quadrado no denominador.
Passo 10
Completando o quadrado:
Então, a integral fica:
Onde
é outra constante de integração.
Resposta
Resolvendo a integral, temos:
Isolando
, a solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.