Dada uma equação não linear y^prime prime(x)=y^prime(x)(y(x)+1). Ache a solução geral da equação.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial não linear . Aqui, temos uma segunda derivada de em relação a . Para resolver isso, vamos usar técnicas de redução de ordem e separação de variáveis. Ou seja, vamos simplificar a equação para facilitar a resolução passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar o problema fazendo uma substituição. Vamos chamar , que é a primeira derivada de em relação a . Com isso, , onde é a derivada de em relação a .

Passo 3

Substituindo na equação original, fica:
p' = p cdot (y + 1)
Agora, temos uma relação entre , sua derivada e a função .

Passo 4

Como p' = dpdx = dpdy cdot dydx = dpdy cdot p , podemos escrever como:
Isso nos permite reescrever a equação em termos de e .

Passo 5

Substituindo na equação, temos:
dpdy cdot p = p cdot (y + 1)
Podemos simplificar dividindo ambos os lados por dpdy = y + 1 (desde que ):
Agora, a equação está mais simples e envolve apenas e .

Passo 6

Vamos integrar ambos os lados em relação a integral dpdy , dy = integral (y + 1) , dy :
p = y^22 + y + C1
Isso resulta em:
Onde é uma constante de integração.

Passo 7

Lembrando que dydx = y^22 + y + C1 , substituímos de volta:
Essa é uma equação diferencial de primeira ordem que podemos resolver separando as variáveis.

Passo 8

Vamos reescrever a equação para separar dyy^22 + y + C1 = dx e :
Agora, integraremos ambos os lados.

Passo 9

Integrando:
integral 2y^2 + 2y + 2C1 , dy = integral dx
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida completando o quadrado no denominador.

Passo 10

Completando o quadrado:
y^2 + 2y + 2C1 = (y + 1)^2 + (2C1 - 1)
Então, a integral fica:
integral 2(y + 1)^2 + (2C1 - 1) , dy = x + C2
Onde é outra constante de integração.

Resposta

Resolvendo a integral, temos:
2raiz2C1 - 1 tan^-1 ( y + 1raiz2C1 - 1 ) = x + C2
Isolando y(x) = -1 + raiz2C1 - 1 tan( raiz2C1 - 12 (x + C2) ) , a solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias determinadas pelas condições iniciais.

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