Dada uma equação de Cauchy-Euler: 2 x^2 y^prime prime(x)+5 x y^prime(x)+y(x)=0. Ache a solução geral desta equação.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos deu uma equação de Cauchy-Euler:
2 x^2 y''(x) + 5 x y'(x) + y(x) = 0
Esse tipo de equação aparece em situações onde as soluções têm potências de . Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a equação característica para a equação de Cauchy-Euler. Se a equação geral é:
a x^2 y'' + b x y' + c y = 0
a equação característica é:
a r^2 + (b - a) r + c = 0
No nosso caso, 2 r^2 + (5 - 2) r + 1 = 0, 2 r^2 + 3 r + 1 = 0, e . Então, a equação característica fica:

Passo 3

Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de r = -b pm raizb^2 - 4 a c2 a. Usando a fórmula de Bhaskara:
r = -3 pm raiz9 - 84
Substituindo r = -3 pm 14, r1 = -3 + 14 = -12, e r2 = -3 - 14 = -1:
Assim, temos duas raízes:

Passo 4

Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação. Como as raízes são reais e distintas, a solução é:
y(x) = C1 x^r1 + C2 x^r2
Substituindo y(x) = C1 x^-1/2 + C2 x^-1 e :

Resposta

A solução geral da equação é:
y(x) = C1 x^-1/2 + C2 x^-1

Exercícios relacionados