Dada uma equação de Cauchy-Euler:
. Ache a solução geral desta equação.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos deu uma equação de Cauchy-Euler:
Esse tipo de equação aparece em situações onde as soluções têm potências de
. Para resolver, vamos precisar encontrar as raízes da equação característica associada.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a equação característica para a equação de Cauchy-Euler. Se a equação geral é:
a equação característica é:
No nosso caso,
,
, e
. Então, a equação característica fica:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação quadrática para encontrar os valores de
. Usando a fórmula de Bhaskara:
Substituindo
,
, e
:
Assim, temos duas raízes:
Passo 4
Com as raízes encontradas, podemos escrever a solução geral da equação. Como as raízes são reais e distintas, a solução é:
Substituindo
e
:
Resposta
A solução geral da equação é: