Classifique cada uma das equações diferenciais ( linear; não-linear; coeficientes constantes ou variáveis; ordem; grau; homogênea ou não homogênea);
x^2 y^prime prime+x y^prime+2 y=sen x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na equação que você mandou:
x^2 y'' + x y' + 2 y = sin x
Nosso objetivo aqui é classificar essa equação diferencial. Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos como linearidade, coeficientes, ordem, grau e se ela é homogênea ou não. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é linear ou não linear.
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida x^2 y'' + x y' + 2 y = sin x e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Olhando para a nossa equação:
Todas as derivadas de estão na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Portanto, a equação é linear.

Passo 3

Agora, vamos determinar se os coeficientes são constantes ou variáveis.
Os coeficientes são os números ou funções que multiplicam , , , etc. Na nossa equação:
  • O coeficiente de é (variável)
  • O coeficiente de é (variável)
  • O coeficiente de é (constante)
Como temos coeficientes que dependem de , os coeficientes são variáveis.

Passo 4

Vamos identificar a ordem da equação.
A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem da derivada presente na equação. Na nossa equação, a derivada de maior ordem é , que é de segunda ordem.

Passo 5

Agora, vamos ver o grau da equação.
O grau de uma equação diferencial é o expoente da maior derivada, desde que a equação seja polinomial em relação às derivadas. Nossa equação é:
x^2 y'' + x y' + 2 y = sin x
A maior derivada é e está na primeira potência. Então, o grau é 1.

Passo 6

Por último, vamos determinar se a equação é homogênea ou não homogênea.
Uma equação diferencial é homogênea se o lado direito for igual a zero. Na nossa equação, temos:
x^2 y'' + x y' + 2 y = sin x
O lado direito não é zero, então a equação é não homogênea.

Resposta

A equação diferencial é linear, com coeficientes variáveis, de segunda ordem, grau 1 e não homogênea.

Exercícios relacionados

Classifique cada uma das equações diferenciais ( linear; não-linear; coeficientes constantes ou variáveis; ordem; grau; homogênea ou não homogênea);
y^prime prime prime+y^prime prime prime+y^prime prime+y^prime+y=1
Use o método de separação de variáveis para resolver a equação diferencial d yd x=1+y1+x ; y(0)=1
Considere a seguinte tabela
x x0 x1 x2
f(x) f(x0) f(x1) f(x2)
onde h1=x1-x0 e h2=x2-x1. Considere agora o problema de calcular uma aproximação para a integral
integralx0^x2 f(x) d x
interpolando f(x) por um polinômio de grau 2 utilizando os dados da tabela. Mostre que
integralx0^x2 f(x) d x approx[2 h1^2+h1 h2-h2^26 h1] f(x0)+[(h1+h2)^36 h1 h2] f(x1)+[2 h2^2+h1 h2-h1^26 h1] f(x2)
Classifique cada uma das equações diferenciais ( linear; não-linear; coeficientes constantes ou variáveis; ordem; grau; homogênea ou não homogênea);
y^prime+x y^2=0