Classifique cada uma das equações diferenciais ( linear; não-linear; coeficientes constantes ou variáveis; ordem; grau; homogênea ou não homogênea);
x^2 y^prime prime+x y^prime+2 y=sen x

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada na equação que você mandou:
x^2 y'' + x y' + 2 y = sin x
Nosso objetivo aqui é classificar essa equação diferencial. Para isso, precisamos entender alguns conceitos básicos como linearidade, coeficientes, ordem, grau e se ela é homogênea ou não. Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos ver se a equação é linear ou não linear.
Uma equação diferencial é linear se a função desconhecida x^2 y'' + x y' + 2 y = sin x e suas derivadas aparecem apenas na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Olhando para a nossa equação:
Todas as derivadas de estão na primeira potência e não estão multiplicadas entre si. Portanto, a equação é linear.

Passo 3

Agora, vamos determinar se os coeficientes são constantes ou variáveis.
Os coeficientes são os números ou funções que multiplicam , , , etc. Na nossa equação:
  • O coeficiente de é (variável)
  • O coeficiente de é (variável)
  • O coeficiente de é (constante)
Como temos coeficientes que dependem de , os coeficientes são variáveis.

Passo 4

Vamos identificar a ordem da equação.
A ordem de uma equação diferencial é a maior ordem da derivada presente na equação. Na nossa equação, a derivada de maior ordem é , que é de segunda ordem.

Passo 5

Agora, vamos ver o grau da equação.
O grau de uma equação diferencial é o expoente da maior derivada, desde que a equação seja polinomial em relação às derivadas. Nossa equação é:
x^2 y'' + x y' + 2 y = sin x
A maior derivada é e está na primeira potência. Então, o grau é 1.

Passo 6

Por último, vamos determinar se a equação é homogênea ou não homogênea.
Uma equação diferencial é homogênea se o lado direito for igual a zero. Na nossa equação, temos:
x^2 y'' + x y' + 2 y = sin x
O lado direito não é zero, então a equação é não homogênea.

Resposta

A equação diferencial é linear, com coeficientes variáveis, de segunda ordem, grau 1 e não homogênea.

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