Considere a seguinte tabela
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onde
e
. Considere agora o problema de calcular uma aproximação para a integral
interpolando
por um polinômio de grau 2 utilizando os dados da tabela. Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma tabela com três pontos:
,
e
. A missão é aproximar a integral de
de
até
, ou seja, calcular
Para isso, vamos usar um polinômio de grau 2 que passe por esses três pontos. Vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e integração de polinômios.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de interpolação. Um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
Nosso objetivo é determinar os coeficientes
,
e
de forma que o polinômio
passe pelos três pontos da tabela. Ou seja, ele deve satisfazer:
Passo 3
Agora, precisamos montar um sistema de equações para encontrar esses coeficientes. Substituindo cada par
na equação do polinômio, temos:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 4
Agora, resolvemos esse sistema para encontrar
,
e
. Mas, para facilitar as contas, vamos usar as diferenças
e
. Essas diferenças nos ajudam a simplificar as expressões durante a resolução.
Passo 5
Depois de encontrar
,
e
, substituímos no polinômio
e integramos de
a
:
Integrando termo a termo, temos:
Que resulta em:
Passo 6
Após calcular as integrais, substituímos os limites
e
. Com as expressões em termos de
e
, e substituindo os valores de
,
e
obtidos anteriormente, chegamos à seguinte aproximação para a integral:
Resposta
Portanto, a aproximação para a integral é:
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Entre a Regra
de Simpson Repetida e a Regra 3/8 de Simpson Repetida, qual é mais precisa ? Justifique sua resposta.