Considere a seguinte tabela
x x0 x1 x2
f(x) f(x0) f(x1) f(x2)
onde h1=x1-x0 e h2=x2-x1. Considere agora o problema de calcular uma aproximação para a integral
integralx0^x2 f(x) d x
interpolando f(x) por um polinômio de grau 2 utilizando os dados da tabela. Mostre que
integralx0^x2 f(x) d x approx[2 h1^2+h1 h2-h2^26 h1] f(x0)+[(h1+h2)^36 h1 h2] f(x1)+[2 h2^2+h1 h2-h1^26 h1] f(x2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício nos dá uma tabela com três pontos: (x0, f(x0)), (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)). A missão é aproximar a integral de f(x) de x0 até x2, ou seja, calcular
integralx0^x2 f(x) , dx
Para isso, vamos usar um polinômio de grau 2 que passe por esses três pontos. Vamos precisar entender um pouco sobre interpolação polinomial e integração de polinômios.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é um polinômio de interpolação. Um polinômio de grau 2 tem a forma geral:
p(x) = ax^2 + bx + c
Nosso objetivo é determinar os coeficientes a, b e c de forma que o polinômio p(x) passe pelos três pontos da tabela. Ou seja, ele deve satisfazer:
p(x0) = f(x0)
p(x1) = f(x1)
p(x2) = f(x2)

Passo 3

Agora, precisamos montar um sistema de equações para encontrar esses coeficientes. Substituindo cada par (xi, f(xi)) na equação do polinômio, temos:
  1. Para x0:
a x0^2 + b x0 + c = f(x0)
  1. Para x1:
a x1^2 + b x1 + c = f(x1)
  1. Para x2:
a x2^2 + b x2 + c = f(x2)

Passo 4

Agora, resolvemos esse sistema para encontrar a, b e c. Mas, para facilitar as contas, vamos usar as diferenças h1 = x1 - x0 e h2 = x2 - x1. Essas diferenças nos ajudam a simplificar as expressões durante a resolução.

Passo 5

Depois de encontrar a, b e c, substituímos no polinômio p(x) e integramos de x0 a x2:
integralx0^x2 p(x) , dx = integralx0^x2 (a x^2 + b x + c) , dx
Integrando termo a termo, temos:
integralx0^x2 a x^2 , dx + integralx0^x2 b x , dx + integralx0^x2 c , dx
Que resulta em:
a [x^33]x0^x2 + b [x^22]x0^x2 + c [x]x0^x2

Passo 6

Após calcular as integrais, substituímos os limites x0 e x2. Com as expressões em termos de h1 e h2, e substituindo os valores de a, b e c obtidos anteriormente, chegamos à seguinte aproximação para a integral:
integralx0^x2 f(x) , dx approx [2 h1^2+h1 h2-h2^26 h1] f(x0) + [(h1+h2)^36 h1 h2] f(x1) + [2 h2^2+h1 h2-h1^26 h1] f(x2)

Resposta

Portanto, a aproximação para a integral é:
integralx0^x2 f(x) , dx approx [2 h1^2+h1 h2-h2^26 h1] f(x0) + [(h1+h2)^36 h1 h2] f(x1) + [2 h2^2+h1 h2-h1^26 h1] f(x2)

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