Use o método de separação de variáveis para resolver a equação diferencial d yd x=1+y1+x ; y(0)=1

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial dydx = 1 + y1 + x com a condição inicial y(0) = 1. A gente vai usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, a gente separa as variáveis y e x. Para isso, vamos rearranjar a equação de forma que todos os termos com y fiquem de um lado e os com x do outro. Assim, dividimos ambos os lados por (1 + y):
dy1 + y = dx1 + x

Passo 3

Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de 11 + y dy é ln|1 + y| e a integral de 11 + x dx é ln|1 + x|. Então, temos:
ln|1 + y| = ln|1 + x| + C
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Para resolver para y, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
1 + y = e^ln|1 + x| + C = e^ln|1 + x| cdot e^C = (1 + x) cdot e^C
Podemos simplificar e^C para uma nova constante K:
1 + y = K(1 + x)

Passo 5

Agora, usamos a condição inicial y(0) = 1 para encontrar o valor de K:
1 + 1 = K(1 + 0) Rightarrow K = 2

Resposta

Substituindo K = 2 na equação, temos:
1 + y = 2(1 + x) Rightarrow y = 2(1 + x) - 1 Rightarrow y = 1 + 2x
Então, a solução da equação diferencial é:
y = 1 + 2x

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