Use o método de separação de variáveis para resolver a equação diferencial
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
com a condição inicial
. A gente vai usar o método de separação de variáveis, que é uma técnica para resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, a gente separa as variáveis
e
. Para isso, vamos rearranjar a equação de forma que todos os termos com
fiquem de um lado e os com
do outro. Assim, dividimos ambos os lados por
:
Passo 3
Agora, vamos integrar ambos os lados da equação. A integral de
é
e a integral de
é
. Então, temos:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Para resolver para
, vamos eliminar o logaritmo aplicando a função exponencial dos dois lados:
Podemos simplificar
para uma nova constante
:
Passo 5
Agora, usamos a condição inicial
para encontrar o valor de
:
Resposta
Substituindo
na equação, temos:
Então, a solução da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
Verifique que se
, e
forem constantes, então
é uma solução para a equação diferencial
. Classifique a equação diferencial.
Encontre o polinômio de Taylor de ordem 2 , centrado em
, da função
.
Classifique cada uma das equações diferenciais ( linear; não-linear; coeficientes constantes ou variáveis; ordem; grau; homogênea ou não homogênea);
Classifique cada uma das equações diferenciais ( linear; não-linear; coeficientes constantes ou variáveis; ordem; grau; homogênea ou não homogênea);