Classifique e resolva cada um dos sistemas a seguir:
l3 x+4 y=1 2 y+z=2 4 x+5 z=-4

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no problema que você trouxe! Temos um sistema de três equações com três incógnitas:
3x + 4y = 1 2y + z = 2 4x + 5z = -4
Nosso objetivo é classificar esse sistema (descobrir se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução) e então resolver para encontrar os valores de , e . Para isso, vamos usar métodos de substituição e eliminação, que são técnicas básicas de álgebra para resolver sistemas lineares.

Passo 2

Vamos começar pela segunda equação, que parece mais simples:
2y + z = 2
Aqui, podemos isolar a variável z = 2 - 2y para facilitar. Subtraindo de ambos os lados:
Agora, temos expressa em termos de . Isso vai nos ajudar a substituir nas outras equações.

Passo 3

Vamos substituir a expressão de 4x + 5z = -4 na terceira equação:
4x + 5(2 - 2y) = -4
Substituindo por :
Agora, vamos simplificar essa equação passo a passo.

Passo 4

Primeiro, distribua o 4x + 10 - 10y = -4 dentro do parêntese:
4x - 10y = -14
Em seguida, vamos reunir os termos semelhantes. Vamos subtrair 2x - 5y = -7 de ambos os lados:
Podemos simplificar dividindo todos os termos por :
Essa é uma equação mais simples que vamos usar junto com a primeira equação.

Passo 5

Agora, temos duas equações com duas incógnitas:
3x + 4y = 1 2x - 5y = -7
Vamos resolver esse sistema usando o método de eliminação. Para isso, vamos multiplicar a primeira equação por 6x + 8y = 2 (Mu e a segunda por para que os coeficientes de sejam iguais:
çãçã

Passo 6

Agora, vamos subtrair a segunda equação da primeira para eliminar (6x + 8y) - (6x - 15y) = 2 - (-21) :
23y = 23
Simplificando:
y = 1
Dividindo ambos os lados por :

Passo 7

Agora que encontramos 3x + 4(1) = 1 , vamos substituir esse valor na primeira equação original para encontrar 3x + 4 = 1 :
3x = -3
Simplificando:
x = -1
Subtraindo de ambos os lados:
Dividindo por :

Passo 8

Com os valores de z = 2 - 2y e z = 2 - 2(1) = 0 encontrados, vamos voltar à expressão que encontramos para :
Substituindo :

Resposta

Portanto, a solução do sistema é:
x = -1, y = 1, z = 0

Classificação

Como encontramos valores únicos para , e , o sistema é compatível e determinado, ou seja, possui uma única solução.

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