Classifique e resolva cada um dos sistemas a seguir:
Passo 1
Vamos resolver o sistema de equações:
x + y + z = 6 2x + 3y + z = 11 4x + y - z = 3
Este exercício pertence ao conteúdo de sistemas lineares de equações, onde precisamos classificar o sistema (determinar se ele tem uma única solução, infinitas soluções ou nenhuma solução) e então resolver para encontrar os valores de , e . Para isso, vamos utilizar métodos de eliminação e substituição, que nos ajudam a simplificar e resolver o sistema passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos utilizar o método de eliminação para reduzir o sistema. Observamos que a primeira equação já está isolada, então vamos tentar eliminar uma variável utilizando essa equação.
A partir da primeira equação:
x + y + z = 6 (1)
Podemos isolar z = 6 - x - y (4) :
Passo 3
Agora, substituímos a expressão de 2x + 3y + (6 - x - y) = 11 da equação (4) nas outras duas equações do sistema.
Substituindo em (2):
2x + 3y + 6 - x - y = 11 x + 2y + 6 = 11 x + 2y = 5 (5)
Simplificando:
4x + y - (6 - x - y) = 3
Substituindo em (3):
4x + y - 6 + x + y = 3 5x + 2y - 6 = 3 5x + 2y = 9 (6)
Simplificando:
Passo 4
Agora temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
x + 2y = 5 (5) 5x + 2y = 9 (6)
Vamos eliminar uma das variáveis. Podemos subtrair a equação (5) da equação (6):
(5x + 2y) - (x + 2y) = 9 - 5 4x = 4 x = 1
Passo 5
Com o valor de 1 + 2y = 5 2y = 4 y = 2 , substituímos na equação (5) para encontrar :
Passo 6
Agora que temos z = 6 - 1 - 2 z = 3 e , substituímos esses valores na equação (4) para encontrar :