Ontem, eu e alguns colegas fomos à lanchonete do colégio. Pagamos um total de por 2 empadas, 3 coxinhas e 5 refrigerantes. Hoje, voltamos à lanchonete. Como éramos mais pessoas, pagamos por 3 empadas, 5 coxinhas e 9 refrigerantes. Qual é, na lanchonete do colégio, o preço total de 1 empada, 1 coxinha e 1 refrigerante?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. A gente foi na lanchonete duas vezes e pagou valores diferentes por quantidades diferentes de empadas, coxinhas e refrigerantes. O conteúdo que vamos usar aqui é de sistemas de equações lineares, que nos ajuda a descobrir o preço individual de cada item. Para resolver, vamos precisar montar duas equações com base nas informações que temos e depois resolver esse sistema para achar os preços.

Passo 2

Primeiro, vamos definir o que cada variável vai representar:
  • Seja o preço de uma empada,
  • o preço de uma coxinha,
  • o preço de um refrigerante.
Agora, vamos traduzir as informações dadas em equações:
Primeira visita:
Pagamos R$10,30 por 2 empadas, 3 coxinhas e 5 refrigerantes.
Isso fica:
Segunda visita:
Pagamos R$17,70 por 3 empadas, 5 coxinhas e 9 refrigerantes.
Isso fica:
Então, temos o seguinte sistema de equações:

Passo 3

Agora, vamos resolver esse sistema. Vou usar o método da eliminação, que serve para eliminar uma das variáveis e resolver as equações passo a passo.
Primeiro, vamos tentar eliminar uma variável. Vou escolher eliminar o . Para isso, precisamos que os coeficientes de sejam iguais em ambas as equações. Multiplico a primeira equação por 3 e a segunda por 2:
Agora, subtraio a primeira equação modificada da segunda:
Isso simplifica para:
çã

Passo 4

Vamos agora voltar à primeira equação original para expressar em termos de e :
Mas temos a Equação 3: . Podemos resolver essa equação para :
Agora, substituímos na expressão de :
Agora, temos e em termos de . Ainda precisamos de mais uma equação para encontrar o valor de . Vamos usar a segunda equação original:
Substituindo e :
Parece que os valores já se equilibram, o que indica que precisamos de mais uma informação. Mas na verdade, isso confirma que nossas expressões para e estão corretas. Vamos atribuir um valor para . Como estamos lidando com preços, vamos supor que (por exemplo):
Mas preços negativos não fazem sentido, então vamos ajustar. Parece que houve um erro na resolução. Vamos refazer a parte da substituição.

Passo 5

Desculpe pela confusão anterior! Vamos corrigir.
Temos e . Vamos substituir essas expressões na segunda equação original:
Isso confirma que as equações são dependentes e que precisamos de mais informações ou que houve um erro inicial. Na verdade, como o sistema tem infinitas soluções, podemos escolher um valor para e encontrar e . Porém, de acordo com o enunciado, queremos o preço total de 1 empada, 1 coxinha e 1 refrigerante, que é .
Substituindo e :

Resposta

O preço total de 1 empada, 1 coxinha e 1 refrigerante é R$ 2,90.

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