Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando dois métodos diferentes: a Eliminação de Gauss e a fatoração LU. A matéria envolve álgebra linear, especificamente sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar manipular as equações para encontrar os valores de , e .

Passo 2

Primeiro, vamos usar o método da Eliminação de Gauss. A ideia aqui é transformar o sistema em uma forma mais simples, onde podemos facilmente encontrar os valores das variáveis.

Passo 3

Escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada:

Passo 4

Vamos começar eliminando o das equações 2 e 3. Para isso, vamos multiplicar a equação 2 por 3 e subtrair a equação 1 dela:
Agora, vamos eliminar o da equação 3. Multiplicamos a equação 2 por 4 e subtraímos a equação 3:

Passo 5

Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a primeira equação dividindo tudo por 5:
Substituímos na segunda equação:

Passo 6

Agora que temos , substituímos na expressão :

Passo 7

Com e encontrados, vamos encontrar usando a equação 2 original:

Passo 8

Agora, vamos usar o método da fatoração LU. Primeiro, precisamos fatorar a matriz dos coeficientes em uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior .
Matriz :
Vamos fatorar .
Após os cálculos (que envolvem várias etapas de eliminação semelhantes à Eliminação de Gauss), encontramos:
(* Os valores específicos de e são resultado dos cálculos detalhados da fatoração.)

Passo 9

Com e determinadas, resolvemos primeiro:

[


]
Resolviendo, encontramos , , e .

Passo 10

Agora, resolvemos :

[


]
Resolvendo, encontramos , , e .

Resposta

As soluções do sistema são:

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