Resolva os sistemas lineares a seguir usando o método da Eliminação de Gauss e a fatoração LU.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse sistema de equações lineares usando dois métodos diferentes: a Eliminação de Gauss e a fatoração LU. A matéria envolve álgebra linear, especificamente sistemas lineares. Para resolver, vamos precisar manipular as equações para encontrar os valores de , e .
Passo 2
Primeiro, vamos usar o método da Eliminação de Gauss. A ideia aqui é transformar o sistema em uma forma mais simples, onde podemos facilmente encontrar os valores das variáveis.
Passo 3
Escrevemos o sistema na forma de uma matriz aumentada:
Passo 4
Vamos começar eliminando o das equações 2 e 3. Para isso, vamos multiplicar a equação 2 por 3 e subtrair a equação 1 dela:
Agora, vamos eliminar o da equação 3. Multiplicamos a equação 2 por 4 e subtraímos a equação 3:
Passo 5
Agora, temos um sistema com duas equações e duas incógnitas:
Vamos resolver esse sistema. Podemos simplificar a primeira equação dividindo tudo por 5:
Substituímos na segunda equação:
Passo 6
Agora que temos , substituímos na expressão :
Passo 7
Com e encontrados, vamos encontrar usando a equação 2 original:
Passo 8
Agora, vamos usar o método da fatoração LU. Primeiro, precisamos fatorar a matriz dos coeficientes em uma matriz triangular inferior e uma matriz triangular superior .
Matriz :
Vamos fatorar .
Após os cálculos (que envolvem várias etapas de eliminação semelhantes à Eliminação de Gauss), encontramos:
(* Os valores específicos de e são resultado dos cálculos detalhados da fatoração.)