Expresse
como segunda derivada de
e encontre sua relação para (
. Para esta relaçăo, mostre que
para um gás perfeito.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente expressar a derivada parcial de $ C_V $ em relação ao volume $ V $, mantendo a temperatura $ T $ constante, ou seja, $ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T $, como uma segunda derivada da energia interna $ U $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre as relações entre derivadas parciais e propriedades de um gás perfeito.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que $ C_V $ é a capacidade térmica a volume constante, definida como $ C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $. Queremos encontrar $ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T $. Substituindo a definição de $ C_V $, temos:
Passo 3
Agora, usamos a propriedade das derivadas parciais que permite trocar a ordem das derivadas quando as variáveis são independentes. Então:
Isso nos dá uma relação entre a derivada de $ C_V $ e a derivada de $ U $.
Passo 4
A próxima parte do enunciado nos pede para relacionar isso com $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T $ e mostrar que, para um gás perfeito, $ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = 0 $.
Para um gás perfeito, sabemos que a energia interna $ U $ depende apenas da temperatura, ou seja, $ U = U(T) $. Isso implica que a derivada de $ U $ em relação ao volume $ V $ a temperatura constante é zero:
Passo 5
Substituindo esse resultado na relação que encontramos no Passo 3:
Então, de fato, para um gás perfeito, a derivada de $ C_V $ em relação a $ V $ a temperatura constante é zero.
Passo 6
Por fim, a relação dada no enunciado pode ser verificada usando essa conclusão. Como $ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = 0 $, temos:
E, do outro lado:
Portanto, as duas expressões são iguais, confirmando a relação proposta.
Resposta
Para um gás perfeito, mostramos que $ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = 0 $.