Expresse (partial CV / partial V)T como segunda derivada de U e encontre sua relação para ( partial U / partial V)T. Para esta relaçăo, mostre que (partial Cv / partial V)T=0 para um gás perfeito. R (partial CVpartial V)T=(partialpartial T(partial Upartial V)T)V

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente expressar a derivada parcial de $ C_V $ em relação ao volume $ V $, mantendo a temperatura $ T $ constante, ou seja, $ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T $, como uma segunda derivada da energia interna $ U $. Para isso, vamos precisar usar conceitos de termodinâmica, especificamente sobre as relações entre derivadas parciais e propriedades de um gás perfeito.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que $ C_V $ é a capacidade térmica a volume constante, definida como $ C_V = \left(\frac{\partial U}{\partial T}\right)_V $. Queremos encontrar $ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T $. Substituindo a definição de $ C_V $, temos:
CV

Passo 3

Agora, usamos a propriedade das derivadas parciais que permite trocar a ordem das derivadas quando as variáveis são independentes. Então:
(partial CVpartial V)T = (partialpartial T (partial Upartial V)T )V
Isso nos dá uma relação entre a derivada de $ C_V $ e a derivada de $ U $.

Passo 4

A próxima parte do enunciado nos pede para relacionar isso com $ \left(\frac{\partial U}{\partial V}\right)_T $ e mostrar que, para um gás perfeito, $ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = 0 $.
Para um gás perfeito, sabemos que a energia interna $ U $ depende apenas da temperatura, ou seja, $ U = U(T) $. Isso implica que a derivada de $ U $ em relação ao volume $ V $ a temperatura constante é zero:
(partial Upartial V)T

Passo 5

Substituindo esse resultado na relação que encontramos no Passo 3:
(partial CVpartial V)T = (partialpartial T (partial Upartial V)T )V = (partialpartial T 0 )V = 0
Então, de fato, para um gás perfeito, a derivada de $ C_V $ em relação a $ V $ a temperatura constante é zero.

Passo 6

Por fim, a relação dada no enunciado pode ser verificada usando essa conclusão. Como $ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = 0 $, temos:
(partial CVpartial V)T = 0
E, do outro lado:
R cdot (partial CVpartial V)T = R cdot 0 = 0
Portanto, as duas expressões são iguais, confirmando a relação proposta.

Resposta

Para um gás perfeito, mostramos que $ \left(\frac{\partial C_V}{\partial V}\right)_T = 0 $.

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