Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?
Passo 1
Vamos analisar o enunciado: temos a combinação do operador
com a função
. O conteúdo envolvido aqui é o de equações de autovalor (ou autovalor e autofunção). Para resolver, precisamos aplicar o operador à função e verificar se o resultado é a função multiplicada por uma constante, que será o autovalor.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar o operador
à função
. Isso significa que vamos derivar
em relação a
.
Passo 3
A derivada de
em relação a
é calculada da seguinte forma:
Aqui, usamos a regra básica de derivação de funções exponenciais, onde a derivada de
é
.
Passo 4
Agora, observamos que a derivada de
é igual a
multiplicado pela própria função
:
Isso se encaixa na forma da equação de autovalor:
onde
é o autovalor.
Passo 5
Comparando as duas expressões, vemos que:
Portanto,
é o autovalor correspondente à autofunção
.
Resposta
A combinação do operador
com a função
fornece uma equação de autovalor, e o autovalor da autofunção
é
.