Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções? dd x(e^-4 x)

Passo 1

Vamos analisar o enunciado: temos a combinação do operador com a função . O conteúdo envolvido aqui é o de equações de autovalor (ou autovalor e autofunção). Para resolver, precisamos aplicar o operador à função e verificar se o resultado é a função multiplicada por uma constante, que será o autovalor.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar o operador à função . Isso significa que vamos derivar em relação a .

Passo 3

A derivada de ddx(e^-4x) = -4e^-4x em relação a é calculada da seguinte forma:
Aqui, usamos a regra básica de derivação de funções exponenciais, onde a derivada de é .

Passo 4

Agora, observamos que a derivada de ddx(e^-4x) = -4 cdot e^-4x é igual a Operador cdot Função = lambda cdot Função multiplicado pela própria função :
Isso se encaixa na forma da equação de autovalor:
çãçã
onde é o autovalor.

Passo 5

Comparando as duas expressões, vemos que:
lambda = -4
Portanto, é o autovalor correspondente à autofunção .

Resposta

A combinação do operador com a função fornece uma equação de autovalor, e o autovalor da autofunção é .

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