Mostre que
sigmax=(lang<= x^2rang<=-lang<= xrang<=^2)^1 / 2
para uma partícula na caixa é menor que o comprimento da caixa, a,para qualquer valor de n. Se sigmax é a incerteza na posição da partícula, sigmax poderia ser maior que a ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a incerteza na posição da partícula, representada por , é menor que o comprimento da caixa para qualquer nível de energia . Pra isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa (também conhecida como poço infinito de potencial). Vamos precisar calcular a expectativa de , , e a expectativa de , , e depois usar esses valores para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a função de onda para uma partícula numa caixa de comprimento psin(x) = raiz2a sin(npi xa) . A função de onda para o estado é dada por:
onde é um número inteiro positivo ( ).

Passo 3

Agora, vamos calcular a expectativa de lang<= x rang<= = integral0^a psin(x) , x , psin(x) , dx = 2a integral0^a x sin^2(npi xa) dx , que é lang<= x rang<= = a2 . A expectativa de é dada por:
Por simetria, para uma caixa simétrica de a , a expectativa de é simplesmente . Então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a expectativa de lang<= x^2 rang<= = integral0^a psin(x) , x^2 , psin(x) , dx = 2a integral0^a x^2 sin^2(npi xa) dx , que é lang<= x^2 rang<= = a^23 - a^22n^2pi^2 :
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e técnicas de integração, resultando em:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da incerteza na posição:
sigmax = raizlang<= x^2 rang<= - lang<= x rang<=^2
Substituindo os valores que encontramos:
sigmax = raiz(a^23 - a^22n^2pi^2) - (a2)^2 = raiza^212 - a^22n^2pi^2

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
sigmax = a raiz112 - 12n^2pi^2
Agora, observamos que é uma constante positive, e é positiva e sempre menor que para qualquer . Portanto, o valor dentro da raiz é positivo, garantindo que seja real.

Passo 7

Finalmente, queremos mostrar que sigmax = a raiz112 - 12n^2pi^2 < a raiz112 = araiz12 approx 0.288a . Observando a expressão:
Então, é claramente menor que para qualquer valor de .

Resposta

Sim, a incerteza na posição da partícula é sempre menor que o comprimento da caixa para qualquer nível de energia , e não pode ser maior que .

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