Mostre que
para uma partícula na caixa é menor que o comprimento da caixa, ,para qualquer valor de . Se é a incerteza na posição da partícula, poderia ser maior que ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a incerteza na posição da partícula, representada por , é menor que o comprimento da caixa para qualquer nível de energia . Pra isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa (também conhecida como poço infinito de potencial). Vamos precisar calcular a expectativa de , , e a expectativa de , , e depois usar esses valores para achar .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a função de onda para uma partícula numa caixa de comprimento . A função de onda para o estado é dada por:
onde é um número inteiro positivo ( ).

Passo 3

Agora, vamos calcular a expectativa de , que é . A expectativa de é dada por:
Por simetria, para uma caixa simétrica de a , a expectativa de é simplesmente . Então:

Passo 4

Em seguida, vamos calcular a expectativa de , que é :
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e técnicas de integração, resultando em:

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da incerteza na posição:
Substituindo os valores que encontramos:

Passo 6

Vamos simplificar a expressão:
Agora, observamos que é uma constante positive, e é positiva e sempre menor que para qualquer . Portanto, o valor dentro da raiz é positivo, garantindo que seja real.

Passo 7

Finalmente, queremos mostrar que . Observando a expressão:
Então, é claramente menor que para qualquer valor de .

Resposta

Sim, a incerteza na posição da partícula é sempre menor que o comprimento da caixa para qualquer nível de energia , e não pode ser maior que .

Exercícios relacionados

Determine se as seguintes funções de onda são aceitáveis no intervalo dado. Se não forem, explique o por quê.
Classifique a ligação em covalente apolar, covalente polar e iônica para as moléculas:
f) ;
As forças intermoleculares são responsáveis por várias propriedades físicas e químicas das moléculas, como, por exemplo, a temperatura de fusão. Considere as moléculas de e .
b) Ordene essas espécies em ordem crescente de temperatura de fusão.
Quais das combinações operador/função a seguir fornecem equações de autovalor? Quais são os autovalores das autofunções?