Mostre que
para uma partícula na caixa é menor que o comprimento da caixa,
,para qualquer valor de
. Se
é a incerteza na posição da partícula,
poderia ser maior que
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que mostrar que a incerteza na posição da partícula, representada por
, é menor que o comprimento da caixa
para qualquer nível de energia
. Pra isso, vamos usar conceitos de mecânica quântica, especificamente sobre partículas em uma caixa (também conhecida como poço infinito de potencial). Vamos precisar calcular a expectativa de
,
, e a expectativa de
,
, e depois usar esses valores para achar
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar a função de onda para uma partícula numa caixa de comprimento
. A função de onda para o estado
é dada por:
onde
é um número inteiro positivo (
).
Passo 3
Agora, vamos calcular a expectativa de
, que é
. A expectativa de
é dada por:
Por simetria, para uma caixa simétrica de
a
, a expectativa de
é simplesmente
. Então:
Passo 4
Em seguida, vamos calcular a expectativa de
, que é
:
Essa integral pode ser resolvida usando identidades trigonométricas e técnicas de integração, resultando em:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da incerteza na posição:
Substituindo os valores que encontramos:
Passo 6
Vamos simplificar a expressão:
Agora, observamos que
é uma constante positive, e
é positiva e sempre menor que
para qualquer
. Portanto, o valor dentro da raiz é positivo, garantindo que
seja real.
Passo 7
Finalmente, queremos mostrar que
. Observando a expressão:
Então,
é claramente menor que
para qualquer valor de
.
Resposta
Sim, a incerteza na posição da partícula
é sempre menor que o comprimento da caixa
para qualquer nível de energia
, e não pode ser maior que
.
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