Um modelo ecológico para o crescimento de certo pássaro é dado pela equação diferencial:
é medido em meses. Inicialmente tem-se 100 pássaros.
Execute dois passos da seguinte forma: com largura de passo igual a 0.8 .para obter
.
RK DE ORDEM 2:
Execute dois passos da seguinte forma: com largura de passo igual a 0.8 .para obter
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem um modelo ecológico que descreve o crescimento de um certo tipo de pássaro através de uma equação diferencial:
Aqui,
é o tempo em meses, e inicialmente temos 100 pássaros (
). A gente precisa usar o método de Runge-Kutta de Ordem 2 (RK2) para calcular o número de pássaros após dois passos de tempo, cada um com uma largura de passo (
) igual a 0.8 meses, ou seja, queremos encontrar
.
Para resolver isso, vamos seguir os passos do método RK2, que envolve calcular duas estimativas intermediárias (
e
) em cada passo de tempo para aproximar a solução da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos rearranjar a equação diferencial para isolar
:
Vamos definir a função
como:
Agora, vamos aplicar o método RK2 para o primeiro passo, de
para
.
Dados iniciais:
Calculando
:
Vamos calcular isso passo a passo:
Então,
Calculando
:
Primeiro, vamos atualizar
e
:
Calculando isso:
Agora, calculamos
:
Vamos calcular passo a passo:
Então,
Atualizando
para
:
Vamos calcular cada parte:
-
-
- Somando:
- Multiplicando pelo passo
: - Atualizando
:
Então, após o primeiro passo, temos:
Passo 3
Agora, vamos fazer o segundo passo do método RK2, de
para
, usando os valores atualizados de
.
Dados atuais:
Calculando
:
Vamos calcular isso passo a passo:
Então,
Calculando
:
Primeiro, atualizamos
e
:
Agora, calculamos
:
Vamos calcular passo a passo:
Então,
Atualizando
para
:
Vamos calcular cada parte:
-
-
- Somando:
- Multiplicando pelo passo
: - Atualizando
:
Então, após o segundo passo, temos:
Resposta
Após dois passos utilizando o método de Runge-Kutta de Ordem 2 com passo
, o número aproximado de pássaros em
meses é: