Um modelo ecológico para o crescimento de certo pássaro é dado pela equação diferencial:
é medido em meses. Inicialmente tem-se 100 pássaros.
Execute dois passos da seguinte forma: com largura de passo igual a 0.8 .para obter .

RK DE ORDEM 2:

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem um modelo ecológico que descreve o crescimento de um certo tipo de pássaro através de uma equação diferencial:
Aqui, é o tempo em meses, e inicialmente temos 100 pássaros ( ). A gente precisa usar o método de Runge-Kutta de Ordem 2 (RK2) para calcular o número de pássaros após dois passos de tempo, cada um com uma largura de passo ( ) igual a 0.8 meses, ou seja, queremos encontrar .
Para resolver isso, vamos seguir os passos do método RK2, que envolve calcular duas estimativas intermediárias ( e ) em cada passo de tempo para aproximar a solução da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos rearranjar a equação diferencial para isolar :
Vamos definir a função como:
Agora, vamos aplicar o método RK2 para o primeiro passo, de para .
Dados iniciais:
Calculando :
Vamos calcular isso passo a passo:
Então,
Calculando :
Primeiro, vamos atualizar e :
Calculando isso:
Agora, calculamos :
Vamos calcular passo a passo:
Então,
Atualizando para :
Vamos calcular cada parte:
  1. Somando:
  2. Multiplicando pelo passo :
  3. Atualizando :
Então, após o primeiro passo, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer o segundo passo do método RK2, de para , usando os valores atualizados de .
Dados atuais:
Calculando :
Vamos calcular isso passo a passo:
Então,
Calculando :
Primeiro, atualizamos e :
Agora, calculamos :
Vamos calcular passo a passo:
Então,
Atualizando para :
Vamos calcular cada parte:
  1. Somando:
  2. Multiplicando pelo passo :
  3. Atualizando :
Então, após o segundo passo, temos:

Resposta

Após dois passos utilizando o método de Runge-Kutta de Ordem 2 com passo , o número aproximado de pássaros em meses é:

Exercícios relacionados

Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem:
Considerando o intervalo [0; 2], encontre a solução numérica dessa equação usando: O método de Runge-Kutta de segunda ordem ;
Encontre a decomposição das seguintes matrizes:
Considere a seguinte Equação Diferencial Ordinária de primeira ordem:
Considerando o intervalo [0; 2], encontre a solução numérica dessa equação usando: O método de Euler com ;
É muito comum na engenharia a utilização de modelos onde uma dada variável é dada em função de mais de uma variável independente.
Suponha que a vazão de água em um tubo de concreto de seção transversal circular é dada pelo seguinte equação:

onde é o diâmetro do tubo (ft) igual a 3(ft), é a inclinação (ft/ft), é vazão e são parâmetros do modelo.
Foram realizados experimentos que geraram a seguinte tabela de dados:
EXPERIMENTO INCLINAÇÃO (S) VAZÃO (Q)
1 0.001 1.4
2 0.01 28.9
3 0.05 200
4 0.1 250
Sabendo-se que deseja-se aplicar o modelo para a estimação de vazão em tubos com diâmetro entre estimar os parâmetros e por regressão linear