Um modelo ecológico para o crescimento de certo pássaro é dado pela equação diferencial:
é medido em meses. Inicialmente tem-se 100 pássaros.
Execute dois passos da seguinte forma: com largura de passo igual a 0.8 .para obter .
RK DE ORDEM 2:
Passo 1
Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem um modelo ecológico que descreve o crescimento de um certo tipo de pássaro através de uma equação diferencial:
Aqui, é o tempo em meses, e inicialmente temos 100 pássaros (). A gente precisa usar o método de Runge-Kutta de Ordem 2 (RK2) para calcular o número de pássaros após dois passos de tempo, cada um com uma largura de passo () igual a 0.8 meses, ou seja, queremos encontrar .
Para resolver isso, vamos seguir os passos do método RK2, que envolve calcular duas estimativas intermediárias ( e ) em cada passo de tempo para aproximar a solução da equação diferencial.
Passo 2
Primeiro, precisamos rearranjar a equação diferencial para isolar :
Vamos definir a função como:
Agora, vamos aplicar o método RK2 para o primeiro passo, de para .
Dados iniciais:
Calculando :
Vamos calcular isso passo a passo:
Então,
Calculando :
Primeiro, vamos atualizar e :
Calculando isso:
Agora, calculamos :
Vamos calcular passo a passo:
Então,
Atualizando para :
Vamos calcular cada parte:
Somando:
Multiplicando pelo passo :
Atualizando :
Então, após o primeiro passo, temos:
Passo 3
Agora, vamos fazer o segundo passo do método RK2, de para , usando os valores atualizados de .
Dados atuais:
Calculando :
Vamos calcular isso passo a passo:
Então,
Calculando :
Primeiro, atualizamos e :
Agora, calculamos :
Vamos calcular passo a passo:
Então,
Atualizando para :
Vamos calcular cada parte:
Somando:
Multiplicando pelo passo :
Atualizando :
Então, após o segundo passo, temos:
Resposta
Após dois passos utilizando o método de Runge-Kutta de Ordem 2 com passo , o número aproximado de pássaros em meses é: