Um modelo ecológico para o crescimento de certo pássaro é dado pela equação diferencial:
d Nd t-0.89 cdot N+0.003 cdot N^1.9=0
t é medido em meses. Inicialmente tem-se 100 pássaros.
Execute dois passos da seguinte forma: com largura de passo igual a 0.8 .para obter N(1.6).

RK DE ORDEM 2:

& yi+1=yi+(13 cdot K1+23 cdot K2) cdot h & K1=f(xi ; yi) & K2=f(xi+34 cdot h ; yi+34 cdot h cdot K1)

Passo 1

Beleza, vamos começar resumindo o que o exercício está pedindo. A gente tem um modelo ecológico que descreve o crescimento de um certo tipo de pássaro através de uma equação diferencial:
d Nd t - 0.89 cdot N + 0.003 cdot N^1.9 = 0
Aqui, é o tempo em meses, e inicialmente temos 100 pássaros ( ). A gente precisa usar o método de Runge-Kutta de Ordem 2 (RK2) para calcular o número de pássaros após dois passos de tempo, cada um com uma largura de passo ( ) igual a 0.8 meses, ou seja, queremos encontrar .
Para resolver isso, vamos seguir os passos do método RK2, que envolve calcular duas estimativas intermediárias ( e ) em cada passo de tempo para aproximar a solução da equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, precisamos rearranjar a equação diferencial para isolar d Nd t = 0.89 cdot N - 0.003 cdot N^1.9 :
f(t, N) = 0.89 cdot N - 0.003 cdot N^1.9
Vamos definir a função K1 = f(t0, N0) = 0.89 cdot 100 - 0.003 cdot 100^1.9 como:
K1 = 89 - 23.829847 approx 65.170153
Agora, vamos aplicar o método RK2 para o primeiro passo, de t0 + 34h = 0 + 34 cdot 0.8 = 0.6 para N0 + 34h cdot K1 = 100 + 34 cdot 0.8 cdot 65.170153 .
Dados iniciais:
  • K2 = f(0.6, 139.102092) = 0.89 cdot 139.102092 - 0.003 cdot (139.102092)^1.9
  • K2 = 123.829874 - 35.55912 approx 88.270754
  • N1 = N0 + ( 13 cdot K1 + 23 cdot K2 ) cdot h
Calculando :
Vamos calcular isso passo a passo:
Então,
Calculando :
Primeiro, vamos atualizar e :
Calculando isso:
Agora, calculamos :
Vamos calcular passo a passo:
Então,
Atualizando para :
Vamos calcular cada parte:
  1. Somando:
  2. Multiplicando pelo passo :
  3. Atualizando :
Então, após o primeiro passo, temos:

Passo 3

Agora, vamos fazer o segundo passo do método RK2, de K1 = f(t1, N1) = 0.89 cdot 164.456442 - 0.003 cdot (164.456442)^1.9 para K1 = 146.514646 - 48.75054 approx 97.764106 , usando os valores atualizados de t1 + 34h = 0.8 + 34 cdot 0.8 = 0.8 + 0.6 = 1.4 .
Dados atuais:
  • N1 + 34h cdot K1 = 164.456442 + 0.6 cdot 97.764106 approx 164.456442 + 58.658467 approx 223.114909
  • K2 = f(1.4, 223.114909) = 0.89 cdot 223.114909 - 0.003 cdot (223.114909)^1.9
  • K2 = 198.604051 - 88.71867 approx 109.885381
Calculando N2 = N1 + ( 13 cdot K1 + 23 cdot K2 ) cdot h :
Vamos calcular isso passo a passo:
Então,
Calculando :
Primeiro, atualizamos e :
Agora, calculamos :
Vamos calcular passo a passo:
Então,
Atualizando para :
Vamos calcular cada parte:
  1. Somando:
  2. Multiplicando pelo passo :
  3. Atualizando :
Então, após o segundo passo, temos:

Resposta

Após dois passos utilizando o método de Runge-Kutta de Ordem 2 com passo N(1.6) approx 249.13 , o número aproximado de pássaros em meses é:

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