A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
Determine o tempo necessário para que a concentração de bactéria seja reduzida a 15 usando o método de Newton-Raphson. Use a aproximação inicial e como critério de parada o erro absoluto de 0,5\%.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma concentração de bactéria no lago que diminui com o tempo, seguindo a fórmula:
A gente precisa descobrir quanto tempo () leva para essa concentração cair para 15 usando o método de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse método numérico para encontrar raízes de equações e aplicar algumas derivadas. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, queremos resolver a equação quando a concentração é 15. Então, vamos igualar a fórmula a 15:
Nossa meta é encontrar o valor de que satisfaz essa equação.
Passo 3
O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Basicamente, a gente começa com uma estimativa inicial () e vai refinando essa estimativa até chegar perto do valor exato.
A fórmula do método é:
Onde:
-
- é a derivada de em relação a
Passo 4
Vamos definir e calcular sua derivada .
A derivada de é:
Passo 5
Agora, vamos começar as iterações do método de Newton-Raphson. A gente começa com a aproximação inicial .
Primeira iteração ():
Calcular :
Vamos calcular cada termo:
-
-
Então:
Calcular :
Agora, aplicar a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 6
Vamos verificar o erro relativo entre e :
Como o erro é maior que 0,5%, precisamos continuar iterando.
Segunda iteração ():
Calcular :
Calculando os expoentes:
-
-
Então:
-
-
Portanto:
Calcular :
Aplicar a fórmula:
Passo 7
Calcular o erro relativo entre e :
Ainda acima de 0,5%, seguimos.
Terceira iteração ():
Calcular :
Calculando os expoentes:
-
-
Então:
-
-
Portanto:
Calcular :
Aplicar a fórmula:
Passo 8
Verificar o erro relativo entre e :
Agora, o erro está abaixo de 0,5%, então paramos por aqui.
Resposta
O tempo necessário para que a concentração de bactéria seja reduzida a 15 é aproximadamente **4,00 unidades de tempo**.