A concentração da bactéria poluente c em um lago diminui de acordo com:
c=75 e^-1,5 t+20 e^-0,075 t
Determine o tempo necessário para que a concentração de bactéria seja reduzida a 15 usando o método de Newton-Raphson. Use a aproximação inicial t0=6 e como critério de parada o erro absoluto de 0,5%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma concentração de bactéria no lago que diminui com o tempo, seguindo a fórmula:
c = 75 e^-1,5 t + 20 e^-0,075 t
A gente precisa descobrir quanto tempo ( t) leva para essa concentração cair para 15 usando o método de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse método numérico para encontrar raízes de equações e aplicar algumas derivadas. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, queremos resolver a equação quando a concentração c é 15. Então, vamos igualar a fórmula a 15:
75 e^-1,5 t + 20 e^-0,075 t = 15
Nossa meta é encontrar o valor de t que satisfaz essa equação.

Passo 3

O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Basicamente, a gente começa com uma estimativa inicial ( t0) e vai refinando essa estimativa até chegar perto do valor exato.
A fórmula do método é:
tn+1 = tn - f(tn)f'(tn)
Onde:
  • f(t) = 75 e^-1,5 t + 20 e^-0,075 t - 15
  • f'(t) é a derivada de f(t) em relação a t

Passo 4

Vamos definir f(t) e calcular sua derivada f'(t).
f(t) = 75 e^-1,5 t + 20 e^-0,075 t - 15
A derivada de f(t) é:
f'(t) = -112,5 e^-1,5 t - 1,5 e^-0,075 t

Passo 5

Agora, vamos começar as iterações do método de Newton-Raphson. A gente começa com a aproximação inicial t0 = 6.
Primeira iteração ( n=0):
Calcular f(t0):
f(6) = 75 e^-1,5 times 6 + 20 e^-0,075 times 6 - 15
Vamos calcular cada termo:
  • e^-9 approx 0,000123
  • e^-0,45 approx 0,637628
Então:
f(6) = 75 times 0,000123 + 20 times 0,637628 - 15 approx 0,009225 + 12,75256 - 15 approx -2,2382
Calcular f'(t0):
f'(6) = -112,5 e^-1,5 times 6 - 1,5 e^-0,075 times 6 approx -112,5 times 0,000123 - 1,5 times 0,637628 approx -0,0138375 - 0,956442 approx -0,97028
Agora, aplicar a fórmula de Newton-Raphson:
t1 = 6 - -2,2382-0,97028 approx 6 - 2,306 approx 3,694

Passo 6

Vamos verificar o erro relativo entre t1 e t0:
Erro = | t1 - t0t1 | times 100% = | 3,694 - 63,694 | times 100% approx 61,2%
Como o erro é maior que 0,5%, precisamos continuar iterando.
Segunda iteração ( n=1):
Calcular f(t1):
f(3,694) = 75 e^-1,5 times 3,694 + 20 e^-0,075 times 3,694 - 15
Calculando os expoentes:
  • 1,5 times 3,694 approx 5,541
  • 0,075 times 3,694 approx 0,277
Então:
  • e^-5,541 approx 0,00394
  • e^-0,277 approx 0,75817
Portanto:
f(3,694) = 75 times 0,00394 + 20 times 0,75817 - 15 approx 0,2955 + 15,1634 - 15 approx 0,4589
Calcular f'(t1):
f'(3,694) = -112,5 e^-1,5 times 3,694 - 1,5 e^-0,075 times 3,694 approx -112,5 times 0,00394 - 1,5 times 0,75817 approx -0,44325 - 1,13726 approx -1,5805
Aplicar a fórmula:
t2 = 3,694 - 0,4589-1,5805 approx 3,694 + 0,2903 approx 3,9843

Passo 7

Calcular o erro relativo entre t2 e t1:
Erro = | 3,9843 - 3,6943,9843 | times 100% approx 7,47%
Ainda acima de 0,5%, seguimos.
Terceira iteração ( n=2):
Calcular f(t2):
f(3,9843) = 75 e^-1,5 times 3,9843 + 20 e^-0,075 times 3,9843 - 15
Calculando os expoentes:
  • 1,5 times 3,9843 approx 5,97645
  • 0,075 times 3,9843 approx 0,2988
Então:
  • e^-5,97645 approx 0,00254
  • e^-0,2988 approx 0,7418
Portanto:
f(3,9843) = 75 times 0,00254 + 20 times 0,7418 - 15 approx 0,1905 + 14,836 - 15 approx 0,0265
Calcular f'(t2):
f'(3,9843) = -112,5 e^-1,5 times 3,9843 - 1,5 e^-0,075 times 3,9843 approx -112,5 times 0,00254 - 1,5 times 0,7418 approx -0,28575 - 1,1127 approx -1,39845
Aplicar a fórmula:
t3 = 3,9843 - 0,0265-1,39845 approx 3,9843 + 0,01896 approx 4,0033

Passo 8

Verificar o erro relativo entre t3 e t2:
Erro = | 4,0033 - 3,98434,0033 | times 100% approx 0,47%
Agora, o erro está abaixo de 0,5%, então paramos por aqui.

Resposta

O tempo necessário para que a concentração de bactéria seja reduzida a 15 é aproximadamente 4,00 unidades de tempo.

Exercícios relacionados