A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
Determine o tempo necessário para que a concentração de bactéria seja reduzida a 15 usando o método de Newton-Raphson. Use a aproximação inicial e como critério de parada o erro absoluto de 0,5%.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma concentração de bactéria no lago que diminui com o tempo, seguindo a fórmula:
A gente precisa descobrir quanto tempo () leva para essa concentração cair para 15 usando o método de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse método numérico para encontrar raízes de equações e aplicar algumas derivadas. Vamos começar!
Passo 2
Primeiro, queremos resolver a equação quando a concentração é 15. Então, vamos igualar a fórmula a 15:
Nossa meta é encontrar o valor de que satisfaz essa equação.
Passo 3
O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Basicamente, a gente começa com uma estimativa inicial () e vai refinando essa estimativa até chegar perto do valor exato.
A fórmula do método é:
Onde:
é a derivada de em relação a
Passo 4
Vamos definir e calcular sua derivada .
A derivada de é:
Passo 5
Agora, vamos começar as iterações do método de Newton-Raphson. A gente começa com a aproximação inicial .
Primeira iteração ():
Calcular :
Vamos calcular cada termo:
Então:
Calcular :
Agora, aplicar a fórmula de Newton-Raphson:
Passo 6
Vamos verificar o erro relativo entre e :
Como o erro é maior que 0,5%, precisamos continuar iterando.
Segunda iteração (n=1):
Calcular f(t1):
f(3,694) = 75 e^-1,5 times 3,694 + 20 e^-0,075 times 3,694 - 15
Calculando os expoentes:
1,5 times 3,694 approx 5,541
0,075 times 3,694 approx 0,277
Então:
e^-5,541 approx 0,00394
e^-0,277 approx 0,75817
Portanto:
f(3,694) = 75 times 0,00394 + 20 times 0,75817 - 15 approx 0,2955 + 15,1634 - 15 approx 0,4589
Calcular f'(t1):
f'(3,694) = -112,5 e^-1,5 times 3,694 - 1,5 e^-0,075 times 3,694 approx -112,5 times 0,00394 - 1,5 times 0,75817 approx -0,44325 - 1,13726 approx -1,5805