A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com: Determine o tempo necessário para que a concentração de bactéria seja reduzida a 15 usando o método de Newton-Raphson. Use a aproximação inicial e como critério de parada o erro absoluto de 0,5\%.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma concentração de bactéria no lago que diminui com o tempo, seguindo a fórmula: A gente precisa descobrir quanto tempo () leva para essa concentração cair para 15 usando o método de Newton-Raphson. Para isso, vamos precisar entender como funciona esse método numérico para encontrar raízes de equações e aplicar algumas derivadas. Vamos começar!

Passo 2

Primeiro, queremos resolver a equação quando a concentração é 15. Então, vamos igualar a fórmula a 15: Nossa meta é encontrar o valor de que satisfaz essa equação.

Passo 3

O método de Newton-Raphson é uma técnica iterativa para encontrar raízes de funções. Basicamente, a gente começa com uma estimativa inicial () e vai refinando essa estimativa até chegar perto do valor exato. A fórmula do método é: Onde: - - é a derivada de em relação a

Passo 4

Vamos definir e calcular sua derivada . A derivada de é:

Passo 5

Agora, vamos começar as iterações do método de Newton-Raphson. A gente começa com a aproximação inicial . Primeira iteração (): Calcular : Vamos calcular cada termo: - - Então: Calcular : Agora, aplicar a fórmula de Newton-Raphson:

Passo 6

Vamos verificar o erro relativo entre e : Como o erro é maior que 0,5%, precisamos continuar iterando. Segunda iteração (): Calcular : Calculando os expoentes: - - Então: - - Portanto: Calcular : Aplicar a fórmula:

Passo 7

Calcular o erro relativo entre e : Ainda acima de 0,5%, seguimos. Terceira iteração (): Calcular : Calculando os expoentes: - - Então: - - Portanto: Calcular : Aplicar a fórmula:

Passo 8

Verificar o erro relativo entre e : Agora, o erro está abaixo de 0,5%, então paramos por aqui.

Resposta

O tempo necessário para que a concentração de bactéria seja reduzida a 15 é aproximadamente **4,00 unidades de tempo**.

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