A seguinte equação está ligada à concentração de uma substância química em um reator completamente misturado:
Se a concentração inicial for
e a concentração do fluxo de entrada for
, calcule o tempo necessário para que c seja
de
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre concentração em um reator completamente misturado. A gente tem uma equação que relaciona a concentração da substância química ao tempo. Para resolver, vamos precisar entender essa equação e aplicar algumas propriedades de exponenciais e logaritmos.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que cada termo da equação representa:
-
é a concentração atual da substância. -
é a concentração do fluxo de entrada. -
é a concentração inicial. -
é o tempo que queremos encontrar. - A base
é a constante de Euler, aproximadamente 2.718.
Passo 3
A gente quer encontrar o tempo
para que a concentração
seja 85% de
. Então:
Agora, vamos substituir
na equação original:
Passo 4
Vamos simplificar a equação para resolver
. Primeiro, distribua o 12:
Combine os termos com
:
Passo 5
Isolando o termo exponencial:
Dividindo os dois lados por -7:
Passo 6
Para resolver para
, vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
Sabemos que
, então:
Calculando o logaritmo:
Passo 7
Agora, isolamos
:
Resposta
O tempo necessário para que a concentração
seja 85% de
é aproximadamente
unidades de tempo.