A seguinte equação está ligada à concentração de uma substância química em um reator completamente misturado:
c=ci n(1-e^-0.04 t)+c0 e^-0.04 t
Se a concentração inicial for c0=5 e a concentração do fluxo de entrada for ci n=12, calcule o tempo necessário para que c seja 85 % de ci n.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre concentração em um reator completamente misturado. A gente tem uma equação que relaciona a concentração da substância química ao tempo. Para resolver, vamos precisar entender essa equação e aplicar algumas propriedades de exponenciais e logaritmos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que cada termo da equação representa:
c = cin(1 - e^-0.04 t) + c0 e^-0.04 t
  • é a concentração atual da substância.
  • é a concentração do fluxo de entrada.
  • é a concentração inicial.
  • é o tempo que queremos encontrar.
  • A base é a constante de Euler, aproximadamente 2.718.

Passo 3

A gente quer encontrar o tempo c = 0.85 times cin = 0.85 times 12 = 10.2 para que a concentração 10.2 = 12(1 - e^-0.04 t) + 5 e^-0.04 t seja 85% de . Então:
Agora, vamos substituir na equação original:

Passo 4

Vamos simplificar a equação para resolver 10.2 = 12 - 12 e^-0.04 t + 5 e^-0.04 t . Primeiro, distribua o 12:
10.2 = 12 - 7 e^-0.04 t
Combine os termos com :

Passo 5

Isolando o termo exponencial:
10.2 - 12 = -7 e^-0.04 t
-1.8 = -7 e^-0.04 t
Dividindo os dois lados por -7:
-1.8-7 = e^-0.04 t
0.2571 approx e^-0.04 t

Passo 6

Para resolver para ln(0.2571) = ln(e^-0.04 t) , vamos aplicar o logaritmo natural em ambos os lados da equação:
ln(0.2571) = -0.04 t
Sabemos que -1.356 = -0.04 t , então:
Calculando o logaritmo:

Passo 7

Agora, isolamos t = -1.356-0.04 :
t = 33.9

Resposta

O tempo necessário para que a concentração seja 85% de é aproximadamente unidades de tempo.

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