Resolver os exercícios abaixo utilizando a regra dos trapézios. Dada a função y=f(x) através da tabela abaixo, calcular o valor de:
integral0^3 f(x) d x
i xi yi
0 0.0 5.021
1 0.5 6.146
2 1.0 6.630
3 1.5 6.945
4 2.0 7.178
5 2.5 7.364
6 3.0 7.519

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral definida de de 0 a 3 usando a Regra dos Trapézios. Para isso, vamos usar a tabela que te deram com os valores de e . A Regra dos Trapézios é uma técnica matemática para aproximar integrais quando a gente tem valores discretos da função.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é a Regra dos Trapézios. Imagine que a área sob a curva integrala^b f(x) , dx approx h2 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + dots + 2f(xn-1) + f(xn) ] entre dois pontos é aproximada por um trapézio. A fórmula geral para a Regra dos Trapézios é:
Onde:
  • e são os limites de integração (neste caso, 0 e 3).
  • é o número de subintervalos.
  • é o tamanho de cada subintervalo, calculado por .

Passo 3

Vamos identificar os valores que precisamos:
  • Limites de integração: h = b - an = 3 - 06 = 0,5 ,
  • Número de subintervalos ( ): Observando a tabela, temos 7 pontos ( a ), o que significa 6 subintervalos.
  • Tamanho do subintervalo ( ):

Passo 4

Agora, vamos aplicar a fórmula da Regra dos Trapézios com os valores que temos:
integral0^3 f(x) , dx approx 0,52 [ f(x0) + 2f(x1) + 2f(x2) + 2f(x3) + 2f(x4) + 2f(x5) + f(x6) ]

Passo 5

Substituindo os valores da tabela na fórmula:
integral0^3 f(x) , dx approx 0,52 [ 5,021 + 2(6,146) + 2(6,630) + 2(6,945) + 2(7,178) + 2(7,364) + 7,519 ]

Passo 6

Vamos calcular os termos dentro dos parênteses:
= 0,52 [ 5,021 + 12,292 + 13,260 + 13,890 + 14,356 + 14,728 + 7,519 ]
Somando todos os valores dentro dos colchetes:
= 0,52 [ 5,021 + 12,292 + 13,260 + 13,890 + 14,356 + 14,728 + 7,519 ] = 0,52 times 81,766 = 0,25 times 81,766 = 20,4415

Resposta

O valor aproximado da integral usando a Regra dos Trapézios é 20,4415.

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