A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
Determine o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15:
Usando o método de Newton com aproximação inicial e erro .

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função que descreve como a concentração de bactérias poluentes em um lago diminui com o tempo:
Queremos encontrar o tempo necessário para que essa concentração seja reduzida a 15 unidades. Para isso, vamos usar o Método de Newton, começando com uma aproximação inicial de e garantindo que o erro seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que queremos igualar a zero para encontrar o valor de desejado. Isso significa:
Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que .

Passo 3

Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada de . Vamos calcular:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar a próxima aproximação de :
Vamos começar com .

Passo 5

Iteração 1:
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Erro: (precisamos continuar)

Passo 6

Iteração 2:
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Erro: (continuamos)

Passo 7

Iteração 3:
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Erro: (continuamos)

Passo 8

Iteração 4:
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Erro: (continuamos)

Passo 9

Iteração 5:
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Erro: (continuamos)

Passo 10

Iteração 6:
Calculamos :
Calculamos :
Atualizamos :
Erro: (continuamos)

Passo 11

Continuando esse processo iterativo até que a diferença entre as aproximações seja menor que , chegaremos a uma solução aproximada para .

Resposta

Após realizar as iterações necessárias utilizando o Método de Newton, o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15 unidades é aproximadamente unidades de tempo.

Exercícios relacionados

Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma pode ser dada pelo método seguinte:
Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz da equação . Dê uma condição necessária sobre para a convergência do método para .
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes e , assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão .
Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo está variando a velocidade constante
Depois de segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que .
Utilize Bissecção para determinar, com precisão de , a velocidade com a qual varia.
Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
e