A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
Determine o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15:
Usando o método de Newton com aproximação inicial
e erro
.
Usando o método de Newton com aproximação inicial
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função que descreve como a concentração de bactérias poluentes em um lago diminui com o tempo:
Queremos encontrar o tempo necessário para que essa concentração seja reduzida a 15 unidades. Para isso, vamos usar o Método de Newton, começando com uma aproximação inicial de
e garantindo que o erro seja menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que queremos igualar a zero para encontrar o valor de
desejado. Isso significa:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
tal que
.
Passo 3
Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada de
. Vamos calcular:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar a próxima aproximação de
:
Vamos começar com
.
Passo 5
Iteração 1:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(precisamos continuar)
Passo 6
Iteração 2:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(continuamos)
Passo 7
Iteração 3:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(continuamos)
Passo 8
Iteração 4:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(continuamos)
Passo 9
Iteração 5:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(continuamos)
Passo 10
Iteração 6:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(continuamos)
Passo 11
Continuando esse processo iterativo até que a diferença entre as aproximações seja menor que
, chegaremos a uma solução aproximada para
.
Resposta
Após realizar as iterações necessárias utilizando o Método de Newton, o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15 unidades é aproximadamente
unidades de tempo.
Exercícios relacionados
Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma
pode ser dada pelo método seguinte:
Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz
da equação
. Dê uma condição necessária sobre
para a convergência do método para
.
Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes
e
, assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão .
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão
Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo
está variando a velocidade constante
Depois de
segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que
.
Utilize Bissecção para determinar, com precisão de , a velocidade
com a qual
varia.
Utilize Bissecção para determinar, com precisão de
Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
e