A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
Determine o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15:
Usando o método de Newton com aproximação inicial
e erro
.
Usando o método de Newton com aproximação inicial
Passo 1
Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função que descreve como a concentração de bactérias poluentes em um lago diminui com o tempo:
Queremos encontrar o tempo necessário para que essa concentração seja reduzida a 15 unidades. Para isso, vamos usar o Método de Newton, começando com uma aproximação inicial de
e garantindo que o erro seja menor que
.
Passo 2
Primeiro, vamos definir uma função que queremos igualar a zero para encontrar o valor de
desejado. Isso significa:
Nosso objetivo é encontrar o valor de
tal que
.
Passo 3
Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada de
. Vamos calcular:
Passo 4
Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar a próxima aproximação de
:
Vamos começar com
.
Passo 5
Iteração 1:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(precisamos continuar)
Passo 6
Iteração 2:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(continuamos)
Passo 7
Iteração 3:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(continuamos)
Passo 8
Iteração 4:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(continuamos)
Passo 9
Iteração 5:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(continuamos)
Passo 10
Iteração 6:
Calculamos
:
Calculamos
:
Atualizamos
:
Erro:
(continuamos)
Passo 11
Continuando esse processo iterativo até que a diferença entre as aproximações seja menor que
, chegaremos a uma solução aproximada para
.
Resposta
Após realizar as iterações necessárias utilizando o Método de Newton, o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15 unidades é aproximadamente
unidades de tempo.