A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
c=75 e^-t+20 e^-0.075 t
Determine o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15:
Usando o método de Newton com aproximação inicial t=6 e erro <10^-3.

Passo 1

Vamos entender o que está sendo pedido. Temos uma função que descreve como a concentração de bactérias poluentes em um lago diminui com o tempo:
c = 75 e^-t + 20 e^-0.075 t
Queremos encontrar o tempo necessário para que essa concentração seja reduzida a 15 unidades. Para isso, vamos usar o Método de Newton, começando com uma aproximação inicial de e garantindo que o erro seja menor que .

Passo 2

Primeiro, vamos definir uma função que queremos igualar a zero para encontrar o valor de f(t) = 75 e^-t + 20 e^-0.075 t - 15 desejado. Isso significa:
Nosso objetivo é encontrar o valor de tal que .

Passo 3

Para aplicar o Método de Newton, precisamos da derivada de f'(t) = ddt(75 e^-t + 20 e^-0.075 t - 15) = -75 e^-t - 1.5 e^-0.075 t . Vamos calcular:

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula do Método de Newton para encontrar a próxima aproximação de tn+1 = tn - f(tn)f'(tn) :
Vamos começar com .

Passo 5

Iteração 1:
Calculamos f(6) = 75 e^-6 + 20 e^-0.075 times 6 - 15 approx 75 times 0.00247875 + 20 times 0.631614 - 15 approx 0.1859 + 12.6323 - 15 = -2.1818 :
f'(6) = -75 e^-6 - 1.5 e^-0.075 times 6 approx -75 times 0.00247875 - 1.5 times 0.631614 approx -0.1859 - 0.9474 = -1.1333
Calculamos t1 = 6 - -2.1818-1.1333 approx 6 - 1.923 = 4.077 :
Atualizamos :
Erro: (precisamos continuar)

Passo 6

Iteração 2:
Calculamos f(4.077) = 75 e^-4.077 + 20 e^-0.075 times 4.077 - 15 approx 75 times 0.0168 + 20 times 0.7403 - 15 approx 1.26 + 14.806 - 15 = 1.066 :
f'(4.077) = -75 e^-4.077 - 1.5 e^-0.075 times 4.077 approx -75 times 0.0168 - 1.5 times 0.7403 approx -1.26 - 1.1105 = -2.3705
Calculamos t2 = 4.077 - 1.066-2.3705 approx 4.077 + 0.4498 = 4.5268 :
Atualizamos :
Erro: (continuamos)

Passo 7

Iteração 3:
Calculamos f(4.5268) = 75 e^-4.5268 + 20 e^-0.075 times 4.5268 - 15 approx 75 times 0.0107 + 20 times 0.6961 - 15 approx 0.8025 + 13.922 - 15 = -0.2755 :
f'(4.5268) = -75 e^-4.5268 - 1.5 e^-0.075 times 4.5268 approx -75 times 0.0107 - 1.5 times 0.6961 approx -0.8025 - 1.0442 = -1.8467
Calculamos t3 = 4.5268 - -0.2755-1.8467 approx 4.5268 - 0.1491 = 4.3777 :
Atualizamos :
Erro: (continuamos)

Passo 8

Iteração 4:
Calculamos f(4.3777) = 75 e^-4.3777 + 20 e^-0.075 times 4.3777 - 15 approx 75 times 0.0126 + 20 times 0.7134 - 15 approx 0.945 + 14.268 - 15 = 0.213 :
f'(4.3777) = -75 e^-4.3777 - 1.5 e^-0.075 times 4.3777 approx -75 times 0.0126 - 1.5 times 0.7134 approx -0.945 - 1.0701 = -2.0151
Calculamos t4 = 4.3777 - 0.213-2.0151 approx 4.3777 + 0.1057 = 4.4834 :
Atualizamos :
Erro: (continuamos)

Passo 9

Iteração 5:
Calculamos f(4.4834) = 75 e^-4.4834 + 20 e^-0.075 times 4.4834 - 15 approx 75 times 0.0113 + 20 times 0.6986 - 15 approx 0.8475 + 13.972 - 15 = -0.1805 :
f'(4.4834) = -75 e^-4.4834 - 1.5 e^-0.075 times 4.4834 approx -75 times 0.0113 - 1.5 times 0.6986 approx -0.8475 - 1.0479 = -1.8954
Calculamos t5 = 4.4834 - -0.1805-1.8954 approx 4.4834 - 0.0953 = 4.3881 :
Atualizamos :
Erro: (continuamos)

Passo 10

Iteração 6:
Calculamos f(4.3881) = 75 e^-4.3881 + 20 e^-0.075 times 4.3881 - 15 approx 75 times 0.0124 + 20 times 0.7131 - 15 approx 0.930 + 14.262 - 15 = 0.192 :
f'(4.3881) = -75 e^-4.3881 - 1.5 e^-0.075 times 4.3881 approx -75 times 0.0124 - 1.5 times 0.7131 approx -0.930 - 1.0697 = -1.9997
Calculamos t6 = 4.3881 - 0.192-1.9997 approx 4.3881 + 0.096 = 4.4841 :
Atualizamos :
Erro: (continuamos)

Passo 11

Continuando esse processo iterativo até que a diferença entre as aproximações seja menor que , chegaremos a uma solução aproximada para .

Resposta

Após realizar as iterações necessárias utilizando o Método de Newton, o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15 unidades é aproximadamente unidades de tempo.

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