Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo
está variando a velocidade constante
Depois de
segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que
.
Utilize Bissecção para determinar, com precisão de
, a velocidade
com a qual
varia.
Utilize Bissecção para determinar, com precisão de
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em um plano inclinado, onde o ângulo do plano está mudando com uma velocidade constante. A gente precisa usar o método da bisseção para encontrar essa velocidade
com que o ângulo varia, sabendo que a partícula se moveu 0,52 metros em 1 segundo. Vamos usar conceitos de cálculo e métodos numéricos para chegar na resposta.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a equação que descreve a posição da partícula:
Onde:
-
é a posição da partícula no tempo , -
é a aceleração da gravidade, -
é a velocidade com que o ângulo varia, -
segundo.
Queremos encontrar
tal que
metros.
Passo 3
Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Nosso objetivo agora é resolver essa equação para
. Como não temos uma solução analítica simples, vamos usar o método da bisseção, que é um método numérico para encontrar raízes de funções.
Passo 4
Para aplicar a bisseção, precisamos reescrever a equação na forma
:
Agora, devemos escolher um intervalo inicial
onde a função
muda de sinal, ou seja,
e
têm sinais opostos. Isso indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.
Passo 5
Vamos fazer algumas tentativas para encontrar um intervalo adequado:
-
Tentativa com
: -
Tentativa com
: Calculando os valores:
Agora, temos:
Como
muda de negativo para positivo entre
e
, vamos usar esse intervalo para aplicar a bisseção.
Passo 6
Aplicando o método da bisseção com intervalo
e buscando precisão de
:
-
Calculamos o ponto médio:
-
Avaliamos
: -
Dependendo do sinal de
, substituímos o limite do intervalo inferior ou superior e repetimos o processo. -
Continuamos esse processo até que a diferença entre os limites seja menor que
.
Repetindo esses passos, vamos refinando o intervalo e nos aproximando cada vez mais da raiz
.
Resposta
Após aplicar o método da bisseção com a precisão desejada, encontramos que a velocidade
com que o ângulo
varia é aproximadamente:
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A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
Determine o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15:
Usando o método de Newton com aproximação inicial e erro
.
Usando o método de Newton com aproximação inicial
Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma
pode ser dada pelo método seguinte:
Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz
da equação
. Dê uma condição necessária sobre
para a convergência do método para
.
Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
e
Seja
, para qual zero de
o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.