Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo está variando a velocidade constante
Depois de segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que .
Utilize Bissecção para determinar, com precisão de , a velocidade com a qual varia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em um plano inclinado, onde o ângulo do plano está mudando com uma velocidade constante. A gente precisa usar o método da bisseção para encontrar essa velocidade com que o ângulo varia, sabendo que a partícula se moveu 0,52 metros em 1 segundo. Vamos usar conceitos de cálculo e métodos numéricos para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que descreve a posição da partícula:
Onde:
  • é a posição da partícula no tempo ,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a velocidade com que o ângulo varia,
  • segundo.
Queremos encontrar tal que metros.

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
Nosso objetivo agora é resolver essa equação para . Como não temos uma solução analítica simples, vamos usar o método da bisseção, que é um método numérico para encontrar raízes de funções.

Passo 4

Para aplicar a bisseção, precisamos reescrever a equação na forma :
Agora, devemos escolher um intervalo inicial onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Vamos fazer algumas tentativas para encontrar um intervalo adequado:
  • Tentativa com :
  • Tentativa com :
    Calculando os valores:
Agora, temos:
Como muda de negativo para positivo entre e , vamos usar esse intervalo para aplicar a bisseção.

Passo 6

Aplicando o método da bisseção com intervalo e buscando precisão de :
  1. Calculamos o ponto médio:
    é
  2. Avaliamos :
  3. Dependendo do sinal de , substituímos o limite do intervalo inferior ou superior e repetimos o processo.
  4. Continuamos esse processo até que a diferença entre os limites seja menor que .
Repetindo esses passos, vamos refinando o intervalo e nos aproximando cada vez mais da raiz .

Resposta

Após aplicar o método da bisseção com a precisão desejada, encontramos que a velocidade com que o ângulo varia é aproximadamente:

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Mostre que as seguintes equações têm pelo menos uma solução nos intervalos dados.
e
Seja , para qual zero de o método da Bissecção converge quando aplicado aos intervalos a seguir? Encontre as raizes com precisão de 3 algarismos.