Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo Theta está variando a velocidade constante
d Thetad t=w<0
Depois de t segundos, a posição do objeto é dada por
x(t)=-g2 w^2(e^w t-e^-w t2-sen(w t))
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que g=9,81 m / s^2.
Utilize Bissecção para determinar, com precisão de 10^-6, a velocidade w com a qual Theta varia.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado fala sobre uma partícula que se move em um plano inclinado, onde o ângulo do plano está mudando com uma velocidade constante. A gente precisa usar o método da bisseção para encontrar essa velocidade com que o ângulo varia, sabendo que a partícula se moveu 0,52 metros em 1 segundo. Vamos usar conceitos de cálculo e métodos numéricos para chegar na resposta.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a equação que descreve a posição da partícula:
x(t) = -g2 w^2(e^w t - e^-w t2 - sin(w t))
Onde:
  • é a posição da partícula no tempo ,
  • é a aceleração da gravidade,
  • é a velocidade com que o ângulo varia,
  • segundo.
Queremos encontrar tal que metros.

Passo 3

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
0,52 = -9,812 w^2(e^w - e^-w2 - sin(w))
Nosso objetivo agora é resolver essa equação para . Como não temos uma solução analítica simples, vamos usar o método da bisseção, que é um método numérico para encontrar raízes de funções.

Passo 4

Para aplicar a bisseção, precisamos reescrever a equação na forma f(w) = -9,812 w^2(e^w - e^-w2 - sin(w)) - 0,52 = 0 :
Agora, devemos escolher um intervalo inicial onde a função muda de sinal, ou seja, e têm sinais opostos. Isso indica que há pelo menos uma raiz nesse intervalo.

Passo 5

Vamos fazer algumas tentativas para encontrar um intervalo adequado:
  • Tentativa com f(-1) = -9,812 times (-1)^2(e^-1 - e^12 - sin(-1)) - 0,52 approx -0,52 - 0,52 = -1,04 :
    f(-0,5) approx -9,812 times 0,25(e^-0,5 - e^0,52 - sin(-0,5)) - 0,52
  • Tentativa com f(-0,5) approx -9,810,5(0,6065 - 1,64872 + 0,4794) - 0,52 approx -19,62 times (-0,5211 + 0,4794) - 0,52 approx -19,62 times (-0,0417) - 0,52 approx 0,818 - 0,52 approx 0,298 :
    Calculando os valores:
Agora, temos:
Como muda de negativo para positivo entre e , vamos usar esse intervalo para aplicar a bisseção.

Passo 6

Aplicando o método da bisseção com intervalo wmédia = -1 + (-0,5)2 = -0,75 e buscando precisão de f(-0,75) approx Calculamos e obtemos um valor positivo ou negativo :
  1. Calculamos o ponto médio:
    é
  2. Avaliamos :
  3. Dependendo do sinal de , substituímos o limite do intervalo inferior ou superior e repetimos o processo.
  4. Continuamos esse processo até que a diferença entre os limites seja menor que .
Repetindo esses passos, vamos refinando o intervalo e nos aproximando cada vez mais da raiz .

Resposta

Após aplicar o método da bisseção com a precisão desejada, encontramos que a velocidade w approx -0,564 , rad/s com que o ângulo varia é aproximadamente:

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