Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma pode ser dada pelo método seguinte:
Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz da equação . Dê uma condição necessária sobre para a convergência do método para .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um método de Newton modificado para encontrar raízes de equações na forma . O objetivo aqui é usar esse método para encontrar a raiz da equação . Precisamos descobrir qual condição inicial deve satisfazer para que o método converja para .
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Newton padrão. Ele utiliza a fórmula:
Esse método iterativo aproxima a raiz de usando a derivada de no ponto atual .
Passo 3
No exercício, a variante do método de Newton é dada por:
Aqui, ao invés de usar a derivada no ponto , usamos a derivada sempre no ponto inicial . Isso significa que a inclinação da tangente usada na aproximação é fixa, baseada em .
Passo 4
Vamos aplicar isso na nossa equação . A derivada de é:
Então, a fórmula do método fica:
Passo 5
Para que o método convirja para , precisamos analisar a condição de convergência. Em métodos iterativos, uma condição comum é que a derivada da função de iteração no ponto fixo tenha módulo menor que 1. Aqui, a função de iteração é:
Sua derivada é:
No ponto fixo :
Para convergência, precisamos que:
Ou seja:
Passo 6
Resolvendo a inequação:
Vamos separar as duas partes:
:
:
Passo 7
Combinando as duas condições, temos que deve ser maior que e positivo para garantir a convergência do método para .
Resposta
Uma condição necessária para a convergência do método para �� que o valor inicial seja positivo e maior que , ou seja: