Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma pode ser dada pelo método seguinte:
Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz da equação . Dê uma condição necessária sobre para a convergência do método para .

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um método de Newton modificado para encontrar raízes de equações na forma . O objetivo aqui é usar esse método para encontrar a raiz da equação . Precisamos descobrir qual condição inicial deve satisfazer para que o método converja para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Newton padrão. Ele utiliza a fórmula:
Esse método iterativo aproxima a raiz de usando a derivada de no ponto atual .

Passo 3

No exercício, a variante do método de Newton é dada por:
Aqui, ao invés de usar a derivada no ponto , usamos a derivada sempre no ponto inicial . Isso significa que a inclinação da tangente usada na aproximação é fixa, baseada em .

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa equação . A derivada de é:
Então, a fórmula do método fica:

Passo 5

Para que o método convirja para , precisamos analisar a condição de convergência. Em métodos iterativos, uma condição comum é que a derivada da função de iteração no ponto fixo tenha módulo menor que 1. Aqui, a função de iteração é:
Sua derivada é:
No ponto fixo :
Para convergência, precisamos que:
Ou seja:

Passo 6

Resolvendo a inequação:
Vamos separar as duas partes:
  1. :
  1. :

Passo 7

Combinando as duas condições, temos que deve ser maior que e positivo para garantir a convergência do método para .

Resposta

Uma condição necessária para a convergência do método para �� que o valor inicial seja positivo e maior que , ou seja:

Exercícios relacionados

Deseja-se resolver a equação:
que possui as duas raízes e , assim como uma terceira raiz situada próxima de 4.
Utilize o método de Newton para determinar a terceira raiz com precisão .
Considere a equação para responder os itens a seguir:
Determine quantas iterações do método da bissecção seriam necessárias para calcular a raiz próxima de 1 com uma precisão partindo do intervalo [0, 2]. Não faça as iterações.
A concentração da bactéria poluente em um lago diminui de acordo com:
Determine o tempo necessário para que a concentração da bactéria seja reduzida a 15:
Usando o método de Newton com aproximação inicial e erro .
Uma patícula começa a se movimentar sobre um plano inclinado liso cujo ângulo está variando a velocidade constante
Depois de segundos, a posição do objeto é dada por
Suponha que a particula tenha se deslocado 0,52 metros em um segundo e considere que .
Utilize Bissecção para determinar, com precisão de , a velocidade com a qual varia.