Uma variante do método de Newton para resolver equações da forma f(x)=0 pode ser dada pelo método seguinte:
xk+1=xk-f(xk)f^prime(x0)
Deseja-se utilizar este método para encontrar a raiz r=raiz2 da equação x^2-2=0. Dê uma condição necessária sobre x0 para a convergência do método para raiz2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício sobre um método de Newton modificado para encontrar raízes de equações na forma . O objetivo aqui é usar esse método para encontrar a raiz da equação . Precisamos descobrir qual condição inicial deve satisfazer para que o método converja para .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como funciona o método de Newton padrão. Ele utiliza a fórmula:
xk+1 = xk - f(xk)f'(xk)
Esse método iterativo aproxima a raiz de usando a derivada de no ponto atual .

Passo 3

No exercício, a variante do método de Newton é dada por:
xk+1 = xk - f(xk)f'(x0)
Aqui, ao invés de usar a derivada no ponto , usamos a derivada sempre no ponto inicial . Isso significa que a inclinação da tangente usada na aproximação é fixa, baseada em .

Passo 4

Vamos aplicar isso na nossa equação f'(x) = 2x . A derivada de xk+1 = xk - xk^2 - 22x0 é:
Então, a fórmula do método fica:

Passo 5

Para que o método convirja para phi(x) = x - f(x)f'(x0) = x - x^2 - 22x0 , precisamos analisar a condição de convergência. Em métodos iterativos, uma condição comum é que a derivada da função de iteração no ponto fixo tenha módulo menor que 1. Aqui, a função de iteração é:
phi'(x) = 1 - 2x2x0 = 1 - xx0
Sua derivada é:
phi'(raiz2) = 1 - raiz2x0
No ponto fixo |phi'(raiz2)| < 1 :
|1 - raiz2x0| < 1
Para convergência, precisamos que:
Ou seja:

Passo 6

Resolvendo a inequação:
-1 < 1 - raiz2x0 < 1
Vamos separar as duas partes:
  1. 1 + 1 > raiz2x0 Rightarrow 2 > raiz2x0 Rightarrow x0 > raiz22 :
- raiz2x0 < 0 Rightarrow x0 > 0
  1. :

Passo 7

Combinando as duas condições, temos que deve ser maior que e positivo para garantir a convergência do método para .

Resposta

Uma condição necessária para a convergência do método para x0 > raiz22 �� que o valor inicial seja positivo e maior que , ou seja:

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